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Función cuantil

La función probit es la función cuantil de la distribución normal . En probabilidad y estadística , la función cuantil de una distribución de probabilidad es la inversa de su fu...

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La función probit es la función cuantil de la distribución normal .

En probabilidad y estadística , la función cuantil de una distribución de probabilidad es la inversa de su función de distribución acumulativa . Es decir, la función cuantil de una distribuciónD{\displaystyle {\mathcal {D}}}es la funciónQ{\displaystyle Q}de tal manera quePr[incógnita≤Q(pag)]=pag{\displaystyle \Pr \left[\mathrm {X} \leq Q(p)\right]=p}para cualquier variable aleatoriaincógnita∼D{\displaystyle \mathrm {X} \sim {\mathcal {D}}}y probabilidadpag∈(0,1){\displaystyle p\in (0,1)}.

La función cuantil también se denomina función percentil (por percentil ), función de punto porcentual , función de distribución acumulativa inversa o función de distribución inversa .

Definición

Función de distribución estrictamente creciente

Con referencia a una función de distribución acumulativa (FDA) continua y estrictamente creciente.Fincógnita:R→[0,1]{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}de una variable aleatoria X , la función cuantilQ:(0,1)→R{\displaystyle Q\colon (0,1)\to \mathbb {R} }asigna su entrada p a un valor umbral x de modo que la probabilidad de que X sea menor o igual que x es p . En términos de la función de distribución F , la función cuantil Q devuelve el valor x tal que

Fincógnita(incógnita):=Pr(incógnita≤incógnita)=pag,{\displaystyle F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,}

que puede escribirse como la función inversa de la función de distribución acumulativa.

Q(pag)=Fincógnita−1(pag).{\displaystyle Q(p)=F_{X}^{-1}(p).}

La función de distribución acumulativa (representada como F ( x ) ) proporciona los valores p en función de los valores q . La función cuantil hace lo contrario: proporciona los valores q en función de los valores p . Nótese que la porción de F ( x ) en rojo es un segmento de línea horizontal.

Función de distribución general

En el caso general de funciones de distribución que carecen de monotonicidad estricta o continuidad, y por lo tanto no permiten una función de distribución acumulada inversa , el cuantil es un funcional (potencialmente) multivaluado de una función de distribución F , dado por el intervalo

Q(pag)=[sorber{incógnita:F(incógnita)<pag}, sorber{incógnita:F(incógnita)≤pag}]=[inf{incógnita:F(incógnita)≥pag}, inf{incógnita:F(incógnita)>pag}].{\displaystyle {\begin{aligned}Q(p)&={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\ \sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}\\&={\big [}\inf\{x\colon F(x)\geq p\},\ \inf\{x\colon F(x)>p\}{\big ]}.\end{aligned}}}

El primer intervalo [ 1 ] es equivalente al segundo intervalo debido a la monotonicidad (no estricta) de F . [ Nota 1 ]

A menudo es habitual elegir el valor más bajo, que puede escribirse de forma equivalente como

Q(pag)=inf{incógnita∈R:pag≤F(incógnita)}.{\displaystyle Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}

Aquí capturamos el hecho de que la función cuantil devuelve el valor mínimo de x entre todos aquellos valores cuyo valor de la función de distribución acumulada supera p , lo cual es equivalente a la afirmación de probabilidad anterior en el caso especial de que la distribución sea continua.

El cuantil es también la única función que satisface las desigualdades de Galois.

Q(pag)≤incógnita{\displaystyle Q(p)\leq x}si y solo sipag≤F(incógnita).{\displaystyle p\leq F(x).}

Si la función F es continua y estrictamente monótonamente creciente, entonces las desigualdades pueden ser reemplazadas por igualdades, y tenemos

Q=F−1.{\displaystyle Q=F^{-1}.}

En general, aunque la función de distribución F puede no tener una inversa izquierda o derecha , la función cuantil Q se comporta como una "inversa izquierda casi segura" para la función de distribución, en el sentido de que

Q(F(incógnita))=incógnitacasi con seguridad.{\displaystyle Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X\quad {\text{casi con seguridad.}}}

Ejemplo sencillo

Por ejemplo, la función de distribución acumulativa de Exponencial( λ ) (es decir,  intensidad λ y valor esperado ( media ) 1/ λ ) es 

F(incógnita;λ)={1−mi−λincógnitaincógnita≥0,0incógnita<0.{\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}

La función cuantil para Exponencial( λ ) se deriva encontrando el valor de Q para el cual1−mi−λQ=pag{\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}:

Q(pag;λ)=−ln⁡(1−pag)λ,{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},}

para 0 ≤ p < 1. Por lo tanto, los cuartiles son:

primer cuartil ( p = 1/4 )
−ln⁡(3/4)/λ,{\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda,}
mediana ( p = 2/4 )
−ln⁡(1/2)/λ,{\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda,}
tercer cuartil ( p = 3/4 )
−ln⁡(1/4)/λ.{\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .}

Aplicaciones

Las funciones cuantil se utilizan tanto en aplicaciones estadísticas como en métodos de Monte Carlo .

La función cuantil es una forma de describir una distribución de probabilidad y constituye una alternativa a la función de densidad de probabilidad (fdp) o función de masa de probabilidad , la función de distribución acumulada (fda) y la función característica . La función cuantil, Q , de una distribución de probabilidad es la inversa de su función de distribución acumulada F. La derivada de la función cuantil, denominada función de densidad cuantil , es otra forma de describir una distribución de probabilidad. Es el recíproco de la fdp compuesta con la función cuantil.

Consideremos una aplicación estadística donde un usuario necesita conocer los puntos porcentuales clave de una distribución dada. Por ejemplo, se requiere la mediana y los cuartiles 25% y 75% como en el ejemplo anterior, o los niveles 5%, 95%, 2.5% y 97.5% para otras aplicaciones, como evaluar la significancia estadística de una observación cuya distribución se conoce; véase la entrada sobre cuantiles . Antes de la popularización de las computadoras, era común que los libros incluyeran apéndices con tablas estadísticas que mostraban la función cuantil. [ 2 ] Gilchrist analiza extensamente las aplicaciones estadísticas de las funciones cuantil. [ 3 ]

Las simulaciones de Monte Carlo emplean funciones cuantil para producir números aleatorios o pseudoaleatorios no uniformes que se utilizan en diversos tipos de cálculos de simulación. En principio, se puede obtener una muestra de una distribución dada aplicando su función cuantil a una muestra de una distribución uniforme. Las exigencias de los métodos de simulación, por ejemplo, en las finanzas computacionales modernas , están centrando cada vez más la atención en los métodos basados ​​en funciones cuantil, ya que funcionan bien con técnicas multivariantes basadas en métodos de cópula o cuasi-Monte Carlo [ 4 ] y métodos de Monte Carlo en finanzas .

La integral de la función cuantil se utiliza para calcular la curva de Lorenz en economía y el valor condicional en riesgo en finanzas.

Cálculo

La evaluación de las funciones cuantil a menudo implica métodos numéricos , como la distribución exponencial mencionada anteriormente, que es una de las pocas distribuciones para las que se puede encontrar una expresión analítica (otras incluyen la uniforme , la de Weibull , la lambda de Tukey (que incluye la logística ) y la log-logística ). Cuando la propia función de distribución acumulada (FDA) tiene una expresión analítica, siempre se puede utilizar un algoritmo numérico de búsqueda de raíces, como el método de bisección, para invertir la FDA. Otros métodos se basan en una aproximación de la inversa mediante técnicas de interpolación. [ 5 ] [ 6 ] En la serie de libros Numerical Recipes se presentan algoritmos adicionales para evaluar funciones cuantil . Muchos paquetes de software estadístico incluyen algoritmos para distribuciones comunes . En las siguientes bibliotecas se pueden encontrar métodos generales para calcular numéricamente las funciones cuantil para clases generales de distribuciones:

Las funciones cuantil también pueden caracterizarse como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales no lineales. Se han presentado y resuelto las ecuaciones diferenciales ordinarias para los casos de las distribuciones normal , t de Student , beta y gamma . [ 11 ]

Distribución normal

La distribución normal es quizás el caso más importante. Dado que la distribución normal es una familia de localización-escala , su función cuantil para parámetros arbitrarios puede derivarse de una simple transformación de la función cuantil de la distribución normal estándar, conocida como función probit . Desafortunadamente, esta función no tiene una representación analítica mediante funciones algebraicas básicas; por consiguiente, se suelen utilizar representaciones aproximadas. Wichura [ 12 ] y Acklam [ 13 ] han proporcionado aproximaciones racionales y polinómicas compuestas exhaustivas . Shaw [ 14 ] ha desarrollado aproximaciones racionales no compuestas.

Ecuación diferencial ordinaria para el cuantil normal

Se puede dar una ecuación diferencial ordinaria no lineal para el cuantil normal, w ( p ) . Es

d2wdpag2=w(dwdpag)2{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}

con las condiciones centrales (iniciales)

w(1/2)=0,{\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}w′(1/2)=2π.{\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}

Esta ecuación puede resolverse mediante diversos métodos, incluido el enfoque clásico de series de potencias . A partir de este método, se pueden obtener soluciones con una precisión arbitrariamente alta (véase Steinbrecher y Shaw, 2008).

Distribución t de Student

Históricamente, este ha sido uno de los casos más difíciles de resolver, ya que la presencia de un parámetro, ν , los grados de libertad, dificulta el uso de aproximaciones racionales y de otro tipo. Existen fórmulas sencillas cuando ν = 1, 2, 4 y el problema puede reducirse a la solución de un polinomio cuando ν es par. En otros casos, las funciones cuantil pueden desarrollarse como series de potencias. [ 15 ] Los casos sencillos son los siguientes:

  • ν = 1 ( distribución de Cauchy ):Q(pag)=broncearse⁡(π(pag−12));{\displaystyle Q(p)=\tan \left(\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\,;}
  • v = 2 :Q(pag)=2(pag−12)2α;{\displaystyle Q(p)=2\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\,;}
  • v = 4 :Q(pag)=2firmar⁡(pag−12)q−1;{\displaystyle Q(p)=2\operatorname {sign} \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {q-1}}\,;}

donde​α=4pag(1−pag){\displaystyle \alpha =4p(1-p)},​​q=1αporque⁡(13arcos⁡(α)){\displaystyle \textstyle q={\tfrac {1}{\sqrt {\alpha }}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\right)\right)}y​ firmar⁡incógnita={−1si incógnita<0;−0si incógnita=0;−1si incógnita>0.{\displaystyle \operatorname {sign} x={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<0;\\{\hphantom {-}}0&{\text{si }}x=0;\\{\hphantom {-}}1&{\text{si }}x>0.\end{cases}}}

Mezclas de cuantiles

De forma análoga a las mezclas de densidades , las distribuciones pueden definirse como mezclas de cuantiles. Q(pag)=∑i=1metroaiQi(pag),{\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p),} dóndeQi(pag){\displaystyle Q_{i}(p)},i=1,…,metro{\displaystyle i=1,\ldots ,m}son funciones cuantiles yai{\displaystyle a_{i}},i=1,…,metro{\displaystyle i=1,\ldots ,m}son los parámetros del modelo. Los parámetrosai{\displaystyle a_{i}}debe ser seleccionado de manera queQ(pag){\displaystyle Q(p)}es una función cuantil. Karvanen presenta dos mezclas cuantiles de cuatro parámetros: la mezcla cuantil normal-polinómica y la mezcla cuantil de Cauchy-polinómica. [ 16 ]

Ecuaciones diferenciales no lineales para funciones cuantil

La ecuación diferencial ordinaria no lineal dada para la distribución normal es un caso especial de la disponible para cualquier función cuantil cuya segunda derivada exista. En general, se puede dar la ecuación para un cuantil, Q ( p ) .

d2Qdpag2=H(Q)(dQdpag)2{\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}

aumentado por condiciones de contorno adecuadas, donde

H(incógnita)=−F′(incógnita)F(incógnita)=−ddincógnitaln⁡F(incógnita){\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)}

y f ( x ) es la función de densidad de probabilidad. Steinbrecher y Shaw (2008) explicaron las formas de esta ecuación y su análisis clásico mediante series y soluciones asintóticas para las distribuciones normal, t de Student, gamma y beta. Dichas soluciones proporcionan puntos de referencia precisos y, en el caso de la distribución t de Student, series adecuadas para su uso en simulaciones de Monte Carlo en tiempo real.

Véase también

Notas

  1. ↑ Para el límite inferior, se establecen{incógnita:F(incógnita)<pag}{\displaystyle \{x\colon F(x)<p\}}y{incógnita:F(incógnita)≥pag}{\displaystyle \{x\colon F(x)\geq p\}}formar una partición deR{\displaystyle \mathbb {R} }Debido a la monotonicidad no estricta de F , cada elemento del primer conjunto es menor que cada elemento del segundo conjunto. Por lo tanto, el supremo del primer conjunto es igual al ínfimo del segundo conjunto. La cota superior se puede demostrar de forma similar.

Referencias

  1. ↑ Ehm, W.; Gneiting, T.; Jordan, A.; Krüger, F. (2016). "De cuantiles y expectiles: funciones de puntuación consistentes, representaciones de Choquet y clasificaciones de pronóstico" . JR Stat. Soc. B. 78 ( 3): 505–562 . arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .
  2. ↑ "Copia archivada" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 24 de marzo de 2012. Recuperado el 25 de marzo de 2012 .{{cite web}}: CS1 mantenimiento: copia archivada como título ( enlace )
  3. ↑ Gilchrist, W. (2000). Modelado estadístico con funciones cuantil . Taylor & Francis. ISBN 1-58488-174-7.
  4. ↑ Jaeckel, P. (2002). Métodos de Monte Carlo en finanzas .
  5. ↑ Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2003). "Generación continua de variables aleatorias mediante inversión numérica rápida" . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 13 (4): 347– 362. doi : 10.1145/945511.945517 . Recuperado el 17 de junio de 2024 – vía WU Vienna.
  6. ↑ Derflinger, Gerhard; Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2010). "Generación de variables aleatorias mediante inversión numérica cuando solo se conoce la densidad" (PDF) . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 20 (4) 18: 1– 25. doi : 10.1145/1842722.1842723 .
  7. ↑ "UNU.RAN - Generadores de números aleatorios no uniformes universales" .
  8. ↑ "Runuran: Interfaz R para los generadores de variables aleatorias 'UNU.RAN'" . 17 de enero de 2023.
  9. ↑ "Generadores de números aleatorios (Scipy.stats.sampling) — Manual de SciPy v1.13.0" .
  10. ↑ Baumgarten, Christoph; Patel, Tirth (2022). "Generación automática de variables aleatorias en Python". Actas de la 21.ª Conferencia Python en la Ciencia . págs. 46–51 . doi : 10.25080/majora-212e5952-007 . 
  11. ↑ Steinbrecher, G.; Shaw, WT (2008). "Mecánica de cuantiles". European Journal of Applied Mathematics . 19 (2): 87– 112. doi : 10.1017/S0956792508007341 . S2CID 6899308 . 
  12. ↑ Wichura, MJ (1988). "Algoritmo AS241: Los puntos porcentuales de la distribución normal". Applied Statistics . 37 (3). Blackwell Publishing: 477– 484. doi : 10.2307/2347330 . JSTOR 2347330 . 
  13. ↑ Un algoritmo para calcular la función de distribución acumulativa normal inversa. Archivado el 5 de mayo de 2007 en Wayback Machine.
  14. ↑ Finanzas Computacionales: Ecuaciones Diferenciales para el Reciclaje de Monte Carlo
  15. ↑ Shaw, WT (2006). "Muestreo de la distribución t de Student: uso de la función de distribución acumulativa inversa". Journal of Computational Finance . 9 (4): 37– 73. doi : 10.21314/JCF.2006.150 .
  16. ↑ Karvanen, J. (2006). "Estimación de mezclas de cuantiles mediante momentos L y momentos L recortados". Computational Statistics & Data Analysis . 51 (2): 947– 956. doi : 10.1016/j.csda.2005.09.014 .

Lecturas adicionales

  • Abernathy, Roger W. y Smith, Robert P. (1993) * "Aplicación de la expansión en serie a la distribución beta inversa para hallar percentiles de la distribución F" , ACM Trans. Math. Softw. , 9 (4), 478 – 480 doi : 10.1145/168173.168387
  • Refinamiento del cuantil normal
  • Nuevos métodos para gestionar la distribución T de los estudiantes.
  • Algoritmo ACM 396: Cuantiles t de Student
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