Probit

En estadística , la función probit convierte una probabilidad (un número entre 0 y 1) en una puntuación. Esta puntuación indica cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor con respecto a la media en una distribución normal estándar (o "curva de campana"). Por ejemplo, una probabilidad de 0,5 (50 %) representa el punto medio exacto de la distribución, por lo que su puntuación probit es 0. Una probabilidad menor, como 0,025 (2,5 %), se encuentra muy a la izquierda de la curva, lo que corresponde a una puntuación probit de aproximadamente -1,96.

La función se utiliza ampliamente en modelos probit , un tipo de análisis de regresión para resultados binarios (por ejemplo, éxito/fracaso o aprobado/suspenso). Se desarrolló inicialmente en toxicología para analizar relaciones dosis-respuesta, como la variación del porcentaje de plagas eliminadas por un plaguicida en función de su concentración. ^{[ 1 ]} La función probit también se utiliza para crear gráficos Q-Q , una herramienta gráfica para evaluar si un conjunto de datos sigue una distribución normal.

Matemáticamente, la función probit es la función cuantil (la inversa de la función de distribución acumulativa (FDA)) asociada con la distribución normal estándar. Si la FDA se denota por ⁠${\displaystyle \Phi (z)}$⁠ , entonces la función probit se define como: $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{para}}\quad p\in (0,1).}$$ Esto significa que para cualquier probabilidad${\displaystyle p}$⁠ , la función probit encuentra el valor${\displaystyle z}$de tal manera que el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de${\displaystyle z}$es igual a${\displaystyle p}$.​

La idea de la función probit fue publicada por Chester Ittner Bliss en un artículo de 1934 en Science sobre cómo tratar datos como el porcentaje de una plaga muerta por un pesticida . ^{[ 2 ]} Bliss propuso transformar el porcentaje muerto en una "unidad de probabilidad" (o "probit") que estaba linealmente relacionada con la definición moderna (la definió arbitrariamente como igual a 0 para 0,0001 y 1 para 0,9999): ^{[ 3 ]} Incluyó una tabla para ayudar a otros investigadores a convertir sus porcentajes de muerte a su probit, que luego podrían graficar contra el logaritmo de la dosis y así, se esperaba, obtener una línea más o menos recta. Este llamado modelo probit sigue siendo importante en toxicología, así como en otros campos. El enfoque se justifica en particular si la variación de la respuesta puede racionalizarse como una distribución lognormal de tolerancias entre sujetos en prueba, donde la tolerancia de un sujeto particular es la dosis justo suficiente para la respuesta de interés.

El método introducido por Bliss fue continuado en Probit Analysis , un texto importante sobre aplicaciones toxicológicas de DJ Finney . ^{[ 4 ]} Los valores tabulados por Finney pueden derivarse de los probits definidos aquí sumando un valor de 5. Esta distinción es resumida por Collett ^{. [ 5 ]} La metodología probit, incluyendo la optimización numérica para el ajuste de funciones probit, se introdujo antes de la disponibilidad generalizada de la computación electrónica. Al usar tablas, era conveniente tener probits uniformemente positivos. Las áreas de aplicación comunes no requieren probits positivos.

Debido principalmente al teorema del límite central , la distribución normal estándar desempeña un papel fundamental en la teoría de la probabilidad y la estadística. Si consideramos el hecho conocido de que la distribución normal estándar sitúa el 95% de la probabilidad entre -1,96 y 1,96 y es simétrica respecto a cero, se deduce que $${\displaystyle \Phi (-1,96)=0,025=1-\Phi (1,96).}$$

La función probit proporciona el cálculo "inverso", generando un valor de una variable aleatoria normal estándar, asociada con una probabilidad acumulada especificada. Continuando con el ejemplo, $${\displaystyle \operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975).}$$

En general, $${\displaystyle \Phi (\operatorname {probit} (p))=p,}$$ y $${\displaystyle \operatorname {probit} (\Phi (z))=z.}$$

Además de servir de base para importantes tipos de regresión, la función probit es útil en el análisis estadístico para diagnosticar desviaciones de la normalidad, según el método de representación gráfica Q-Q. Si un conjunto de datos es en realidad una muestra de una distribución normal , la representación gráfica de los valores frente a sus puntuaciones probit será aproximadamente lineal. Se pueden diagnosticar desviaciones específicas de la normalidad, como asimetría , colas pesadas o bimodalidad , a partir de la detección de desviaciones específicas de la linealidad. Si bien la representación gráfica Q-Q puede utilizarse para comparar con cualquier familia de distribuciones (no solo la normal), la representación gráfica Q-Q normal es un procedimiento de análisis exploratorio de datos relativamente estándar, ya que la suposición de normalidad suele ser un punto de partida para el análisis.

La función de distribución acumulada (FDA) de la distribución normal y su inversa no están disponibles en forma cerrada , y su cálculo requiere el uso cuidadoso de procedimientos numéricos. Sin embargo, estas funciones están ampliamente disponibles en software para modelado estadístico y de probabilidad, y en hojas de cálculo. En entornos informáticos donde se dispone de implementaciones numéricas de la función de error inversa , la función probit se puede obtener como $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}$$ Un ejemplo es MATLAB , donde erfinvestá disponible una función. El lenguaje Mathematica implementa InverseErf. Otros entornos implementan directamente la función probit, como se muestra en el siguiente código R.

> qnorm ( 0.025 ) [1] -1.959964 > pnorm ( -1.96 ) [1] 0.02499790

Wichura proporciona un algoritmo rápido para calcular la función probit con 16 decimales; este se utiliza en R para generar variables aleatorias para la distribución normal. ^{[ 6 ]}

Estrechamente relacionadas con la función probit (y el modelo probit ) están la función logit y el modelo logit . La inversa de la función logística viene dada por $${\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

De forma análoga al modelo probit, podemos suponer que dicha cantidad está relacionada linealmente con un conjunto de predictores, lo que da lugar al modelo logit , base en particular del modelo de regresión logística , la forma más común de análisis de regresión para datos de respuesta categórica. En la práctica estadística actual, los modelos de regresión probit y logit se suelen tratar como casos del modelo lineal generalizado .

• Gráficos de compensación de errores de detección (gráficos DET, una alternativa a la curva ROC)
• Regresión logística (también conocida como modelo logit)
• Logit
• Modelo Probit
• Probit multinomial
• Gráfico Q-Q
• Función continua
• Función monótona
• Función cuantil
• función sigmoide
• Análisis de Rankit , también desarrollado por Chester Bliss.
• Puntuación de Ridit

• ¿Qué función de enlace: Logit, Probit o Cloglog? 12.04.2023