Probit multinomial

En estadística y econometría , el modelo probit multinomial es una generalización del modelo probit que se utiliza cuando hay varias categorías posibles en las que puede caer la variable dependiente . Como tal, es una alternativa al modelo logit multinomial como un método de clasificación multiclase . No debe confundirse con el modelo probit multivariante , que se utiliza para modelar resultados binarios correlacionados para más de una variable independiente.

Se supone que tenemos una serie de observaciones Y _i , para i = 1... n , de los resultados de elecciones multidireccionales de una distribución categórica de tamaño m (hay m elecciones posibles). Junto con cada observación Y _i hay un conjunto de k valores observados x _1,i , ..., x _k,i de variables explicativas (también conocidas como variables independientes , variables predictoras, características, etc.). Algunos ejemplos:

• Los resultados observados podrían ser "tiene la enfermedad A, tiene la enfermedad B, tiene la enfermedad C, no tiene ninguna de las enfermedades" para un conjunto de enfermedades raras con síntomas similares, y las variables explicativas podrían ser características de los pacientes que se consideran pertinentes (sexo, raza, edad, presión arterial , índice de masa corporal , presencia o ausencia de varios síntomas, etc.).
• Los resultados observados son los votos de las personas para un partido o candidato determinado en una elección con múltiples candidatos, y las variables explicativas son las características demográficas de cada persona (por ejemplo, sexo, raza, edad, ingresos, etc.).

El modelo probit multinomial es un modelo estadístico que se puede utilizar para predecir el resultado probable de un ensayo multivariable no observado dadas las variables explicativas asociadas. En el proceso, el modelo intenta explicar el efecto relativo de las distintas variables explicativas sobre los distintos resultados.

Formalmente, los resultados Y _i se describen como datos distribuidos categóricamente , donde cada valor de resultado h para la observación i ocurre con una probabilidad no observada p _i,h que es específica de la observación i en cuestión porque está determinada por los valores de las variables explicativas asociadas con esa observación. Es decir:

${\displaystyle Y_{i}|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}\ \sim \operatorname {Categorical} (p_{i,1},\ldots ,p_{i,m}),{\text{ for }}i=1,\dots ,n}$

o equivalentemente

${\displaystyle \Pr[Y_{i}=h|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}]=p_{i,h},{\text{ for }}i=1,\dots ,n,}$

para cada uno de m valores posibles de h .

El probit multinomial a menudo se escribe en términos de un modelo de variable latente :

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{i}^{1\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{1}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{1}\,\\Y_{i}^{2\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{2}\,\\\ldots &\ldots \\Y_{i}^{m\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{m}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{m}\,\\\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})}$

Entonces

${\displaystyle Y_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{i}^{1\ast }>Y_{i}^{2\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\2&{\text{if }}Y_{i}^{2\ast }>Y_{i}^{1\ast },Y_{i}^{3\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\\ldots &\ldots \\m&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Eso es,

${\displaystyle Y_{i}=\arg \max _{h=1}^{m}Y_{i}^{h\ast }}$

Tenga en cuenta que este modelo permite una correlación arbitraria entre las variables de error , por lo que no necesariamente respeta la independencia de las alternativas irrelevantes .

Cuando la matriz identidad es tal que no existe correlación ni heterocedasticidad ), el modelo se denomina probit independiente . ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Para obtener detalles sobre cómo se estiman las ecuaciones, consulte el artículo Modelo Probit .

• Greene, William H. (2012). Análisis econométrico (séptima edición). Boston: Pearson Education. pp. 810–811. ISBN 978-0-273-75356-8.