Modelo probit multivariante

En estadística y econometría , el modelo probit multivariante es una generalización del modelo probit utilizado para estimar conjuntamente varios resultados binarios correlacionados. Por ejemplo, si se cree que las decisiones de enviar al menos un hijo a una escuela pública y la de votar a favor de un presupuesto escolar están correlacionadas (ambas decisiones son binarias), entonces el modelo probit multivariante sería apropiado para predecir conjuntamente estas dos elecciones de forma individual. JR Ashford y RR Sowden propusieron inicialmente un enfoque para el análisis probit multivariante. ^{[ 1 ]} Siddhartha Chib y Edward Greenberg extendieron esta idea y también propusieron métodos de inferencia basados ​​en simulación para el modelo probit multivariante, que simplificaron y generalizaron la estimación de parámetros. ^{[ 2 ]}

En el modelo probit ordinario, solo hay una variable dependiente binaria y, por lo tanto, solo se utiliza una variable latente . En cambio, en el modelo probit bivariado hay dos variables dependientes binarias y , por lo que hay dos variables latentes: y . Se supone que cada variable observada toma el valor 1 si y solo si su variable latente continua subyacente toma un valor positivo:${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{*}}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle Y_{1}^{*}}$${\displaystyle Y_{2}^{*}}$

${\displaystyle Y_{1}={\begin{cases}1&{\text{si }}Y_{1}^{*}>0,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

${\displaystyle Y_{2}={\begin{cases}1&{\text{si }}Y_{2}^{*}>0,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

con

${\displaystyle {\begin{cases}Y_{1}^{*}=X_{1}\beta _{1}+\varepsilon _{1}\\Y_{2}^{*}=X_{2}\beta _{2}+\varepsilon _{2}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\end{bmatrix}}\mid X\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{bmatrix}}\right)}$

Ajustar el modelo probit bivariado implica estimar los valores de y . Para ello, se debe maximizar la verosimilitud del modelo . Esta verosimilitud es${\displaystyle \beta _ {1},\ \beta _ {2},}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\beta _ {1},\beta _ {2})={\Big (}\prod &P(Y_ {1}=1,Y_ {2}=1\mid \beta _ {1},\beta _ {2})^{Y_ {1} Y_ {2}} P (Y_ {1} = 0,Y_ {2} = 1 \ mid \beta _ {1}, \ beta _{2})^{(1-Y_{1})Y_{2}}\\[8pt]&{}\qquad P(Y_{1}=1,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}(1-Y_{2})}P(Y_{1}=0,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})(1-Y_{2})}{\Grande )}\end{aligned}}}$

Sustituyendo las variables latentes y en las funciones de probabilidad y tomando logaritmos se obtiene${\displaystyle Y_{1}^{*}}$${\displaystyle Y_{2}^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2}){\Big )}.\end{aligned}}}$

Tras algunas modificaciones, la función de verosimilitud logarítmica queda de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},\rho ){\Big )}.\end{aligned}}}$

Nótese que es la función de distribución acumulativa de la distribución normal bivariada . y en la función de verosimilitud logarítmica son variables observadas que son iguales a uno o cero.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

Para el caso general, donde podemos tomar como elecciones y como individuos u observaciones, la probabilidad de observar la elección es${\displaystyle \mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{j}),\ (i=1,...,N)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {y_ {i}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int _{A_{J}}\cdots \int _{A_{1}}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )dy_{1}^{*}\dots dy_{J}^{*}\\\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}\end{aligned}}}$

Dónde y,${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}}$

${\displaystyle A_{j}={\begin{cases}(-\infty ,0]&y_{j}=0\\(0,\infty )&y_{j}=1\end{cases}}}$

La función de verosimilitud logarítmica en este caso sería ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\log \Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )}$

Excepto que normalmente no hay una solución de forma cerrada para las integrales en la ecuación de log-verosimilitud. En cambio, se pueden usar métodos de simulación para simular las probabilidades de elección. Los métodos que usan muestreo de importancia incluyen el algoritmo GHK , ^{[ 3 ]} AR (aceptar-rechazar), el método de Stern. También hay enfoques MCMC para este problema, incluidos CRB (método de Chib con Rao-Blackwellización ), CRT (Chib, Ritter, Tanner), ARK (núcleo de aceptación-rechazo) y ASK (núcleo de muestreo adaptativo). ^{[ 4 ]} Se propone un enfoque variacional escalable a grandes conjuntos de datos en Probit-LMM. ^{[ 5 ]}${\displaystyle J\leq 2}$

El modelo Probit Multivariado se ha aplicado para analizar simultáneamente la elección del consumidor entre múltiples marcas. Se ha demostrado que el modelo Probit Multivariado amplía las posibilidades de investigación en el área de la demanda al flexibilizar el supuesto restrictivo de alternativas mutuamente excluyentes, que caracteriza a los métodos de elección discreta multinomiales. ^{[ 6 ]}

• Greene, William H. (2012). «Modelos probit bivariados y multivariados». Análisis econométrico (séptima  ed.). Prentice-Hall. págs. 778–799 . ISBN  978-0-13-139538-1.