Logit

En estadística , la función logit ^{[ a ]} ( unidad logística ) o función log-odds es la función cuantil asociada a la distribución logística estándar . Tiene muchos usos en el análisis de datos y el aprendizaje automático , especialmente en las transformaciones de datos .

Matemáticamente, el logit es la inversa de la función logística estándar .${\displaystyle \textstyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$⁠ , por lo que el logit se define como $${\displaystyle \operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{para}}\quad p\in (0,1).}$$

Debido a esto, el logit también se llama logaritmo de las probabilidades, ya que es igual al logaritmo de las probabilidades.${\textstyle {\frac {p}{1-p}}}$donde p es una probabilidad. Por lo tanto, el logit es un tipo de función que asigna valores de probabilidad desde${\displaystyle (0,1)}$a números reales en ⁠${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$⁠ , ^{[ 1 ]} similar a la función probit .

Si p es una probabilidad , entonces${\textstyle {\tfrac {p}{1-p}}}$es la probabilidad correspondiente ; el logit de la probabilidad es el logaritmo de la probabilidad, es decir: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {logit} (p)&={\hphantom {-}}\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)\\&=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1).\end{aligned}}}$$

La base de la función logaritmo utilizada es de poca importancia en este artículo, siempre que sea mayor que 1, pero el logaritmo natural con base e es el más utilizado. La elección de la base corresponde a la elección de la unidad logarítmica para el valor: la base  2 corresponde a un shannon , la base e a un nat y la base 10 a un hartley ; estas unidades se utilizan particularmente en interpretaciones de la teoría de la información. Para cada elección de base, la función logit toma valores entre infinito negativo y positivo.  

La función logística de cualquier número${\displaystyle \alpha }$viene dado por el logit inverso : $${\displaystyle \operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+e^{-\alpha }}}={\frac {e^{\alpha }}{e^{\alpha }+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}}$$

La diferencia entre los logit de dos probabilidades es el logaritmo de la razón de probabilidades ( R ), lo que proporciona una forma abreviada de escribir la combinación correcta de razones de probabilidades simplemente sumando y restando : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(R)&=\ln \left({\frac {\tfrac {p_{1}}{1-p_{1}}}{\tfrac {p_{2}}{1-p_{2}}}}\right)\\&=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)\\&=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.\end{aligned}}}$$

La serie de Taylor para la función logit viene dada por: $${\displaystyle \operatorname {logit} (x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x-1)^{2n+1}}{2n+1}}.}$$

Se han explorado varios enfoques para adaptar los métodos de regresión lineal a un dominio donde la salida es un valor de probabilidad .${\displaystyle (0,1)}$⁠ , en lugar de cualquier número real ⁠${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$En muchos casos, estos esfuerzos se han centrado en modelar este problema mediante el mapeo del rango .${\displaystyle (0,1)}$a​​${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$y luego ejecutar la regresión lineal sobre estos valores transformados. ^{[ 2 ]}

En 1934, Chester Ittner Bliss utilizó la función de distribución normal acumulativa para realizar este mapeo y denominó a su modelo probit , abreviatura de "unidad de probabilidad". Sin embargo, esto es computacionalmente más costoso. ^{[ 2 ]} En 1944, Joseph Berkson utilizó el logaritmo de las probabilidades y denominó a esta función logit , abreviatura de "unidad logística", siguiendo la analogía con probit. ^{[ 3 ]}

El logaritmo de las probabilidades fue utilizado ampliamente por Charles Sanders Peirce a finales del siglo XIX. ^{[ 4 ]} GA Barnard, en 1949, acuñó el término comúnmente utilizado «log-odds» ; ^{[ 5 ] [ 6 ]} el logaritmo de las probabilidades de un evento es el logit de la probabilidad del evento. ^{[ 7 ]} Barnard también acuñó el término «lods» como una forma abstracta de «log-odds», ^{[ 8 ]} pero sugirió que «en la práctica, normalmente debería usarse el término "odds", ya que es más familiar en la vida cotidiana». ^{[ 9 ]}

• El logit en la regresión logística es un caso especial de una función de enlace en un modelo lineal generalizado : es la función de enlace canónica para la distribución de Bernoulli .
• En términos más abstractos, el logit es el parámetro natural para la distribución binomial .
• La función logit es el negativo de la derivada de la función de entropía binaria .
• El logit también es fundamental para el modelo probabilístico de Rasch para la medición , que tiene aplicaciones en la evaluación psicológica y educativa, entre otras áreas.
• La función logit inversa (es decir, la función logística ) también se conoce a veces como función expit . ^{[ 10 ]}
• En la epidemiología de las enfermedades de las plantas, los modelos logístico, de Gompertz y monomolecular se conocen colectivamente como los modelos de la familia de Richards.
• La función logaritmo de probabilidades se utiliza a menudo en algoritmos de estimación de estado ^{[ 11 ]} debido a sus ventajas numéricas en el caso de probabilidades pequeñas. En lugar de multiplicar números de punto flotante muy pequeños, las probabilidades logarítmicas se pueden sumar para calcular la probabilidad conjunta (logaritmo de probabilidades). ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Estrechamente relacionadas con la función logit (y el modelo logit ) se encuentran la función probit y el modelo probit . Tanto la función logit como la probit son funciones sigmoideas con un dominio entre 0 y 1, lo que las convierte en funciones cuantil , es decir, inversas de la función de distribución acumulativa (CDF) de una distribución de probabilidad . De hecho, la función logit es la función cuantil de la distribución logística , mientras que la función probit es la función cuantil de la distribución normal . La función probit se denota como ${\displaystyle \operatorname {\Phi } ^{-1}(x)}$, donde​${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)}$es la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución normal estándar, como se mencionó anteriormente: $${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-y^{2}/2}dy.}$$

Como se muestra en el gráfico de la derecha, las funciones logit y probit son extremadamente similares cuando la función probit se escala de manera que su pendiente en y = 0 coincide con la pendiente de la función logit . En consecuencia, a veces se utilizan modelos probit en lugar de modelos logit porque para ciertas aplicaciones (por ejemplo, en la teoría de respuesta al ítem ) la implementación es más sencilla. ^{[ 14 ]}

• función sigmoide
• Elección discreta en logit binario, logit multinomial, logit condicional, logit anidado, logit mixto, logit expandido y logit ordenado.
• Variable dependiente limitada
• Análisis logístico en marketing
• logit multinomial
• Sigma , curva con forma similar
• Perceptrón
• Probit , otra función con el mismo dominio y rango que el logit
• Puntuación de Ridit
• Transformación de datos (estadística)
• Arcoseno (transformación)
• modelo de Rasch

• ¿Qué función de enlace: Logit, Probit o Cloglog? 12.04.2023

• Ashton, Winifred D. (1972). La transformación logit: con especial referencia a sus usos en bioensayos . Griffin's Statistical Monographs & Courses. Vol.  32. Charles Griffin. doi : 10.2307/2345009 . ISBN 978-0-85264-212-2. JSTOR 2345009 .