Velocidad terminal

La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto al caer a través de un fluido ( el aire es el ejemplo más común). Se alcanza cuando la suma de la fuerza de arrastre ( Fd ₎ y la fuerza de flotación es igual a la fuerza descendente de _la gravedad ( FG ) que actúa sobre el objeto. Dado que la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para objetos que caen a través del aire a presión normal, la fuerza de flotación generalmente se ignora y no se tiene en cuenta, ya que sus efectos son despreciables.

A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también aumenta la fuerza de arrastre que actúa sobre él, la cual depende además del medio por el que se desplaza (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, la fuerza de arrastre o resistencia será igual a la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto. En ese punto, el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante denominada velocidad terminal (también llamada velocidad de sedimentación ).

Un objeto que se mueve hacia abajo a una velocidad superior a la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó desde una zona menos densa de la atmósfera o cambió de forma) disminuirá su velocidad hasta alcanzar la velocidad terminal. La resistencia aerodinámica depende del área proyectada , representada aquí por la sección transversal o silueta del objeto en un plano horizontal.

Un objeto con una gran superficie proyectada en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal menor que uno con una superficie proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con su tamaño. Esto se debe a que la fuerza descendente (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, mientras que la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal, que aumenta únicamente con el cuadrado de la dimensión lineal.

Para objetos muy pequeños, como polvo y niebla, las corrientes de convección superan fácilmente la velocidad terminal, impidiendo que lleguen al suelo. Por lo tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire durante periodos indefinidos. La contaminación atmosférica y la niebla son ejemplos de ello.

Basándonos en la resistencia del aire, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en caída libre boca abajo es de aproximadamente 55 m/s (180 ft/s) . ^{[ 3 ]} Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se aproxima a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50,0 % de la velocidad terminal en tan solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 %, y así sucesivamente.  

Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista recoge sus extremidades (véase también vuelo libre ). ^{[ 3 ]} En este caso, la velocidad terminal aumenta a unos 90 m/s (300 ft/s) , que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino en picada sobre su presa. ^{[ 4 ]} La misma velocidad terminal se alcanza para una bala típica del calibre .30-06 que cae hacia abajo —cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o lanzada desde una torre— según un estudio de la Artillería del Ejército de los EE. UU. de 1920. ^{[ 5 ]}  

Los paracaidistas de competición vuelan con la cabeza hacia abajo y pueden alcanzar velocidades de 150 m/s (490 ft/s) . El récord actual lo ostenta Felix Baumgartner , quien saltó desde una altitud de 38.887 m (127.582 ft) y alcanzó los 380 m/s (1.200 ft/s) , aunque logró esta velocidad a gran altitud, donde la densidad del aire es mucho menor que en la superficie terrestre, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor. ^{[ 6 ]}      

El biólogo JBS Haldane escribió:

Para el ratón y cualquier animal más pequeño, la gravedad prácticamente no representa ningún peligro. Se puede dejar caer un ratón por un pozo minero de mil yardas; al llegar al fondo, sufre un leve impacto y se aleja caminando. Una rata muere, un hombre se rompe, un caballo chapotea. Esto se debe a que la resistencia que el aire ofrece al movimiento es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Si se divide la longitud, la anchura y la altura de un animal entre diez, su peso se reduce a una milésima parte, pero su superficie solo a una centésima parte. Por lo tanto, la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza impulsora. ^{[ 7 ]}

Para la velocidad terminal en caída a través del aire, donde la viscosidad es despreciable en comparación con la fuerza de arrastre, y sin considerar los efectos de flotabilidad , la velocidad terminal viene dada por $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ dónde

• ${\displaystyle V_{t}}$representa la velocidad terminal,
• ${\displaystyle m}$es la masa del objeto que cae,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad ,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre ,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido a través del cual cae el objeto, y
• ${\displaystyle A}$es el área proyectada del objeto. ^{[ 8 ]}

En realidad, un objeto se aproxima a su velocidad terminal de forma asintótica .

Los efectos de flotabilidad, debidos a la fuerza ascendente que ejerce el fluido circundante sobre el objeto, pueden tenerse en cuenta utilizando el principio de Arquímedes : la masa${\displaystyle m}$debe ser reducido por la masa de fluido desplazada${\displaystyle \rho V}$, con${\displaystyle V}$el volumen del objeto. Entonces, en lugar de${\displaystyle m}$utilizar la masa reducida${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$en esta y en las fórmulas subsiguientes.

La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su área superficial transversal proyectada .

La densidad del aire aumenta con la altitud, aproximadamente un 1 % por cada 80 metros (260 pies) (véase la fórmula barométrica ). Para los objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1 %. Tras alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye hasta variar con la velocidad terminal local.  

Utilizando términos matemáticos, definiendo hacia abajo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

donde v ( t ) es la velocidad del objeto en función del tiempo t .

En equilibrio , la fuerza neta es cero ( F _neta = 0) ^{[ 9 ]} y la velocidad se convierte en la velocidad terminal lim _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

Al despejar V _t se obtiene:

La ecuación de arrastre es —suponiendo que ρ , g y C _d son constantes—: $${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

Aunque se trata de una ecuación de Riccati que puede resolverse reduciéndola a una ecuación diferencial lineal de segundo orden , es más fácil separar las variables .

Se puede obtener una forma más práctica de esta ecuación haciendo la sustitución α ² = ⁠ ρAC _d / 2 mg ⁠ .

Dividiendo ambos lados por m se obtiene $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

La ecuación se puede reorganizar en $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

Tomando la integral de ambos lados se obtiene $${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

Después de la integración, esto se convierte en $${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

o en una forma más sencilla $${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$ con artanh la función tangente hiperbólica inversa .

Alternativamente, $${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$ donde tanh es la función tangente hiperbólica . Suponiendo que g es positivo (como se definió), y sustituyendo α de nuevo, la velocidad v se convierte en $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

Utilizando la fórmula para la velocidad terminal $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ La ecuación se puede reescribir como $${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

A medida que el tiempo tiende a infinito ( t → ∞), la tangente hiperbólica tiende a 1, lo que resulta en la velocidad terminal. $${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

Para un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas de inercia del fluido son despreciables (suposición de fluido sin masa) en comparación con otras fuerzas. Dichos flujos se denominan flujos lentos o de Stokes y la condición que debe cumplirse para que los flujos sean flujos lentos es el número de Reynolds ,${\displaystyle Re\ll 1}$La ecuación de movimiento para el flujo lento ( ecuación simplificada de Navier-Stokes ) viene dada por:

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es el campo vectorial de velocidad del fluido ,
• ${\displaystyle p}$es el campo de presión del fluido,
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad del líquido/fluido .

La solución analítica para el flujo lento alrededor de una esfera fue dada por primera vez por Stokes en 1851. ^{[ 10 ]} A partir de la solución de Stokes, la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera de diámetro${\displaystyle d}$se puede obtener como

donde el número de Reynolds,${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$. La expresión para la fuerza de arrastre dada por la ecuación ( 6 ) se llama ley de Stokes .

Cuando el valor de${\displaystyle C_{d}}$Se sustituye en la ecuación ( 5 ), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve bajo condiciones de flujo lento: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$ dónde${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del objeto.

Los resultados del flujo lento pueden aplicarse para estudiar la sedimentación cerca del fondo oceánico y la caída de gotas de humedad en la atmósfera. Este principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente , un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, como el aceite, la parafina, el alquitrán, etc.

Cuando se tienen en cuenta los efectos de flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido bajo su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de sedimentación) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto se equilibra exactamente con la fuerza de flotabilidad ascendente y la fuerza de arrastre. Es decir,

dónde

• ${\displaystyle W}$es el peso del objeto,
• ${\displaystyle F_{b}}$es la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto, y
• ${\displaystyle D}$es la fuerza de arrastre que actúa sobre el objeto.

Si el objeto que cae tiene forma esférica, las expresiones para las tres fuerzas se dan a continuación:

dónde

• ${\displaystyle d}$es el diámetro del objeto esférico,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido,
• ${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del objeto,
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$es el área proyectada de la esfera,
• ${\displaystyle C_{d}}$es el coeficiente de arrastre y
• ${\displaystyle V}$es la velocidad característica (tomada como velocidad terminal,${\displaystyle V_{t}}$).

Sustitución de las ecuaciones ( 2-4 ) en la ecuación ( 1 ) y resolución para la velocidad terminal ,${\displaystyle V_{t}}$para obtener la siguiente expresión

En la ecuación ( 1 ), se supone que el objeto es más denso que el fluido. De no ser así, el signo de la fuerza de arrastre debería ser negativo, ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Ejemplos de esto son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. En estos casos, la velocidad terminal tendrá un valor negativo, correspondiente a la tasa de ascenso.

• Ley de Stokes
• Balística terminal

• Herramienta interactiva de velocidad terminal - Sitio web de la NASA, Guía para principiantes en aeronáutica
• Vídeo a bordo de los propulsores de cohetes sólidos del transbordador espacial desacelerando rápidamente hasta la velocidad terminal al entrar en la atmósfera más densa. Archivado el 27/11/2015 en Wayback Machine , desde 2900 millas por hora (Mach 3.8) en el minuto 5:15 del vídeo, hasta 220 mph en el minuto 6:45 cuando se despliegan los paracaídas 90 segundos después. Vídeo y sonido de la NASA, @ io9.com.  
• Velocidad de sedimentación terminal de una esfera para todos los números de Reynolds realistas, según el método de las tablas de Heywood.