Marco de referencia giratorio

En mecánica clásica , la fuerza centrífuga es una fuerza hacia afuera asociada con la rotación . La fuerza centrífuga es una de las llamadas pseudofuerzas (también conocidas como fuerzas inerciales ), denominadas así porque, a diferencia de las fuerzas reales , no se originan en interacciones con otros cuerpos situados en el entorno de la partícula sobre la que actúan. En cambio, la fuerza centrífuga se origina en la rotación del sistema de referencia dentro del cual se realizan las observaciones. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

La expresión matemática de la fuerza de Coriolis apareció en un artículo de 1835 del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis en relación con la hidrodinámica , y también en las ecuaciones de mareas de Pierre-Simon Laplace en 1778. A principios del siglo XX, el término fuerza de Coriolis comenzó a utilizarse en relación con la meteorología .

Quizás el sistema de referencia giratorio más común sea la Tierra . Los objetos en movimiento sobre la superficie terrestre experimentan la fuerza de Coriolis y parecen desviarse hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur . Los movimientos del aire en la atmósfera y del agua en los océanos son ejemplos notables de este comportamiento: en lugar de fluir directamente de zonas de alta presión a zonas de baja presión, como ocurriría en un planeta que no gira, los vientos y las corrientes tienden a fluir hacia la derecha al norte del ecuador y hacia la izquierda al sur del ecuador. Este efecto es responsable de la rotación de los grandes ciclones (véase Efectos de Coriolis en meteorología ).

En mecánica clásica , la aceleración de Euler (llamada así por Leonhard Euler ), también conocida como aceleración azimutal ^{[ 8 ]} o aceleración transversal ^{[ 9 ]} , es una aceleración que aparece cuando se utiliza un sistema de referencia que gira de forma no uniforme para el análisis del movimiento y existe variación en la velocidad angular del eje de dicho sistema . Este artículo se limita a un sistema de referencia que gira alrededor de un eje fijo.

La fuerza de Euler es una fuerza ficticia sobre un cuerpo que está relacionada con la aceleración de Euler mediante F = m a , donde a es la aceleración de Euler y m es la masa del cuerpo. ^{[ 10 ] [ 11 ]}  

Para derivar estas fuerzas ficticias, es útil poder convertir entre las coordenadas.${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$del sistema de referencia giratorio y las coordenadas${\displaystyle (x,y,z)}$de un marco de referencia inercial con el mismo origen. ^{[ nota 1 ]} Si la rotación es alrededor del${\displaystyle z}$eje con velocidad angular constante${\displaystyle \Omega }$(entonces${\displaystyle z'=z}$y${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega,}$lo cual implica${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$por alguna constante${\displaystyle \theta _{0}}$dónde${\displaystyle \theta (t)}$denota el ángulo en el${\displaystyle xy}$-plano formado en el tiempo${\displaystyle t}$por${\displaystyle \left(x',y'\right)}$y el${\displaystyle x}$eje), y si los dos sistemas de referencia coinciden en el tiempo${\displaystyle t=0}$(significado${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$cuando${\displaystyle t=0,}$así que toma${\displaystyle \theta _{0}=0}$o algún otro múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi }$), la transformación de coordenadas de rotación a coordenadas inerciales se puede escribir $${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$$${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$ mientras que la transformación inversa es $${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$$${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

Este resultado se puede obtener a partir de una matriz de rotación .

Introduzca los vectores unitarios${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$representando vectores base unitarios estándar en el marco giratorio. A continuación se hallan las derivadas temporales de estos vectores unitarios. Supongamos que los marcos están alineados en${\displaystyle t=0}$y el${\displaystyle z}$El eje - es el eje de rotación. Entonces, para una rotación en sentido antihorario a través del ángulo${\displaystyle \Omega t}$: $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$ donde el${\displaystyle (x,y)}$Los componentes se expresan en el sistema de referencia estacionario. Asimismo, $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

Por lo tanto, la derivada temporal de estos vectores, que giran sin cambiar de magnitud, es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\$$ ;} $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$ dónde${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ Este resultado es el mismo que se obtiene utilizando un producto vectorial con el vector de rotación.${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$apuntando a lo largo del eje z de rotación${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$a saber, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$ dónde${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$es o${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$o${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

Introducir vectores unitarios${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$, que ahora representan vectores base unitarios estándar en el marco de referencia giratorio general. A medida que giran, permanecerán normalizados y perpendiculares entre sí. Si giran a la velocidad de${\displaystyle \Omega (t)}$alrededor de un eje a lo largo del vector de rotación${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$entonces cada vector unitario${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$del sistema de coordenadas giratorio (como${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$o${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$) se rige por la siguiente ecuación: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$ Entonces si${\displaystyle R(t)}$denota la transformación que toma los vectores base del marco inercial al marco giratorio, con columnas de matriz iguales a los vectores base del marco giratorio, entonces la multiplicación del producto vectorial por el vector de rotación viene dada por${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$.

Si${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$es una función vectorial que se escribe como ^{[ nota 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$ y queremos examinar su primera derivada entonces (usando la regla del producto de diferenciación): ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$denota la tasa de cambio de${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$como se observa en el sistema de coordenadas giratorio. Como notación abreviada, la diferenciación se expresa como: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Este resultado también se conoce como el teorema de transporte en dinámica analítica y a veces también se le denomina ecuación cinemática básica . ^{[ 14 ]}

La velocidad de un objeto es la derivada temporal de la posición del objeto, por lo que

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

La derivada temporal de una posición${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$En un sistema de referencia giratorio, el desplazamiento tiene dos componentes: una debida a la dependencia temporal explícita causada por el movimiento del objeto en el propio sistema de referencia giratorio, y otra debida a la rotación del propio sistema. Aplicando el resultado de la subsección anterior al desplazamiento${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$Las velocidades en los dos sistemas de referencia están relacionadas por la ecuación

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

donde el subíndice${\displaystyle \mathrm {i} }$significa el marco de referencia inercial, y${\displaystyle \mathrm {r} }$significa el marco de referencia giratorio.

La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, o la primera derivada temporal de la velocidad.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

donde el subíndice${\displaystyle \mathrm {i} }$significa el marco de referencia inercial,${\displaystyle \mathrm {r} }$el marco de referencia giratorio, y donde la expresión, de nuevo,${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$La expresión entre corchetes de la izquierda debe interpretarse como un operador que actúa sobre la expresión entre corchetes de la derecha.

Como${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$, las primeras derivadas temporales de${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$dentro de cualquiera de los sistemas de referencia, cuando se expresan con respecto a la base de, por ejemplo, el sistema de referencia inercial, coinciden. Al realizar las diferencias y reordenar algunos términos se obtiene la aceleración relativa al sistema de referencia giratorio,${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$es la aceleración aparente en el sistema de referencia giratorio, el término${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$representa la aceleración centrífuga y el término${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$es la aceleración de Coriolis . El último término,${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$, es la aceleración de Euler y es cero en sistemas de referencia que giran uniformemente.

Cuando la expresión para la aceleración se multiplica por la masa de la partícula, los tres términos adicionales en el lado derecho dan como resultado fuerzas ficticias en el sistema de referencia giratorio, es decir, fuerzas aparentes que resultan de estar en un sistema de referencia no inercial , en lugar de cualquier interacción física entre cuerpos.

Utilizando la segunda ley del movimiento de Newton${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$obtenemos: ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• la fuerza de Coriolis$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• la fuerza centrífuga$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• y la fuerza de Euler$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

dónde${\displaystyle m}$es la masa del objeto sobre el que actúan estas fuerzas ficticias . Nótese que las tres fuerzas desaparecen cuando el sistema de referencia no está girando, es decir, cuando${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Para mayor exhaustividad, la aceleración inercial${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$debido a fuerzas externas impresionadas${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$se puede determinar a partir de la fuerza física total en el marco inercial (no giratorio) (por ejemplo, la fuerza de interacciones físicas como las fuerzas electromagnéticas ) utilizando la segunda ley de Newton en el marco inercial: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$ La ley de Newton en el marco giratorio se convierte entonces en:

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

En otras palabras, para manejar las leyes del movimiento en un marco de referencia giratorio: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Trata las fuerzas ficticias como si fueran fuerzas reales, y finge que te encuentras en un sistema de referencia inercial.

Obviamente, un sistema de referencia giratorio es un caso de sistema de referencia no inercial. Por lo tanto, además de la fuerza real, la partícula está sometida a una fuerza ficticia. La partícula se moverá según la segunda ley de Newton si la fuerza total que actúa sobre ella se considera como la suma de las fuerzas real y ficticia.

Esta ecuación tiene exactamente la forma de la segunda ley de Newton, excepto que además de F , la suma de todas las fuerzas identificadas en el marco inercial, hay un término adicional a la derecha... Esto significa que podemos seguir utilizando la segunda ley de Newton en el marco no inercial siempre que estemos de acuerdo en que en el marco no inercial debemos agregar un término adicional similar a una fuerza, a menudo llamado fuerza inercial .