Desigualdad variacional

En matemáticas , una desigualdad variacional es una desigualdad que implica un funcional , que debe resolverse para todos los valores posibles de una variable dada , que pertenece generalmente a un conjunto convexo . La teoría matemática de las desigualdades variacionales se desarrolló inicialmente para tratar problemas de equilibrio , precisamente el problema de Signorini : en ese problema modelo, el funcional involucrado se obtenía como la primera variación de la energía potencial involucrada . Por lo tanto, tiene un origen variacional , recordado por el nombre de problema abstracto general. La aplicabilidad de la teoría se ha ampliado desde entonces para incluir problemas de economía , finanzas , optimización y teoría de juegos .

El primer problema que implica una desigualdad variacional fue el problema de Signorini , planteado por Antonio Signorini en 1959 y resuelto por Gaetano Fichera en 1963, según las referencias (Antman 1983, pp. 282-284) y (Fichera 1995): los primeros artículos de la teoría fueron (Fichera 1963) y (Fichera 1964a), (Fichera 1964b). Más tarde, Guido Stampacchia demostró su generalización al teorema de Lax-Milgram en (Stampacchia 1964) con el fin de estudiar el problema de regularidad para ecuaciones diferenciales parciales y acuñó el nombre de "desigualdad variacional" para todos los problemas que implican desigualdades de este tipo. Georges Duvaut animó a sus estudiantes de posgrado a estudiar y ampliar el trabajo de Fichera, después de asistir a una conferencia en Brixen en 1965, donde Fichera presentó su estudio del problema de Signorini, como informa Antman 1983, p. 283: así, la teoría se hizo ampliamente conocida en toda Francia . También en 1965, Stampacchia y Jacques-Louis Lions ampliaron los resultados anteriores de (Stampacchia 1964), anunciándolos en el artículo (Lions & Stampacchia 1965): las pruebas completas de sus resultados aparecieron más tarde en el artículo (Lions & Stampacchia 1967).

Siguiendo a Antman (1983, p. 283), la definición de una desigualdad variacional es la siguiente.

Definición 1. Dado un espacio de Banach , un subconjunto de , y un funcional del espacio dual del espacio , el problema de desigualdad variacional es el problema de resolver la variable que pertenece a la siguiente desigualdad : ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}}$

¿Dónde está el emparejamiento de dualidad ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$

En general, el problema de desigualdad variacional puede formularse en cualquier espacio de Banach de dimensión finita o infinita . Los tres pasos obvios en el estudio del problema son los siguientes:

1. Demostrar la existencia de una solución: este paso implica la corrección matemática del problema, demostrando que existe al menos una solución.
2. Demostrar la unicidad de la solución dada: este paso implica la corrección física del problema, mostrando que la solución puede utilizarse para representar un fenómeno físico. Es un paso particularmente importante ya que la mayoría de los problemas modelados por desigualdades variacionales son de origen físico.
3. Encuentra la solución o demuestra su regularidad.

Este es un problema de ejemplo estándar, descrito por Antman (1983, p. 283): considere el problema de encontrar el valor mínimo de una función diferenciable en un intervalo cerrado . Sea un punto en donde se produce el mínimo. Pueden darse tres casos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle I}$

1. Si entonces${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. Si entonces${\displaystyle x^{\ast }=a,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. Si entonces${\displaystyle x^{\ast }=b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

Estas condiciones necesarias se pueden resumir como el problema de encontrar tal que ${\displaystyle x^{\ast }\in I}$

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }$para${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

El mínimo absoluto debe buscarse entre las soluciones (si hay más de una) de la desigualdad anterior : tenga en cuenta que la solución es un número real , por lo tanto, esta es una desigualdad variacional de dimensión finita.

Una formulación del problema general en es la siguiente: dado un subconjunto de y una función , el problema de desigualdad variacional de dimensión finita asociado con consiste en encontrar un vector de dimensión finita perteneciente a tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

donde es el producto interno estándar en el espacio vectorial . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En el estudio histórico (Fichera 1995), Gaetano Fichera describe la génesis de su solución al problema de Signorini : el problema consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo que se encuentra en un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional cuyo límite es , que descansa sobre una superficie rígida sin fricción y está sujeto únicamente a sus fuerzas de masa . La solución del problema existe y es única (bajo supuestos precisos) en el conjunto de desplazamientos admisibles , es decir, el conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno ambiguas si y solo si ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

donde y son los siguientes funcionales , escritos utilizando la notación de Einstein${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$,    ,    ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

donde, para todos , ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$

• ${\displaystyle \Sigma }$es la superficie de contacto (o más generalmente un conjunto de contactos ),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza corporal aplicada al cuerpo,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza superficial aplicada a ,${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$es el tensor de tensión de Cauchy , definido como

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

donde es la energía potencial elástica y es el tensor de elasticidad .${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$

• Teoría de la complementariedad
• Desigualdad variacional diferencial
• Programación matemática extendida para problemas de equilibrio
• Programación matemática con restricciones de equilibrio
• Problema de obstáculos
• Sistema dinámico proyectado
• Problema de los señores
• Contacto unilateral

• Antman, Stuart (1983), "La influencia de la elasticidad en el análisis: desarrollos modernos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , MR  0714990, Zbl  0533.73001. Un artículo histórico sobre la fructífera interacción de la teoría de la elasticidad y el análisis matemático : la creación de la teoría de las desigualdades variacionales por Gaetano Fichera se describe en el §5, páginas 282-284.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus", Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970, ICM Proceedings , vol. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volumen 3, París : Gauthier-Villars, págs. 71–78, archivado desde el original (PDF) el 25 de julio de 2015 , consultado el 25 de julio de 2015. Un breve estudio de investigación que describe el campo de las desigualdades variacionales, precisamente el subcampo de los problemas de mecánica del medio continuo con restricciones unilaterales.
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 de octubre de 1993, Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol. 114, Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 47-53. El nacimiento de la teoría de las desigualdades variacionales recordado treinta años después (traducción al inglés del título) es un artículo histórico que describe el comienzo de la teoría de las desigualdades variacionales desde el punto de vista de su fundador.

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95580-1, Zbl1062.90001 ​
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95581-X, Zbl1062.90001 ​
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Sobre el problema elastostático de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 ( en italiano), 34 (2): 138–142, MR  0176661, Zbl  0128.18305Una breve nota de investigación que anuncia y describe (sin pruebas) la solución del problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 7 (2): 91–140, Zbl  0146.21204. El primer artículo donde se demuestra un teorema de existencia y unicidad para el problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs.Una traducción al inglés de (Fichera 1964a).
• Glowinski, Roland ; Lions, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Análisis numérico de desigualdades variacionales. Traducido del francés , Estudios de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 8, Ámsterdam – Nueva York – Oxford : Holanda Septentrional , pp. xxix+776, ISBN 0-444-86199-8, MR  0635927, Zbl  0463.65046
• Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 88, Boston – Londres – Nueva York – San Diego – Sídney – Tokio – Toronto : Academic Press , ISBN 0-89871-466-4, Zbl0457.35001 ​.
• Leones, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations varianelles non coercives", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 261 : 25–27, Zbl  0136.11906, disponible en Gallica . Anuncios de los resultados del artículo (Lions & Stampacchia 1967).
• Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), "Desigualdades variacionales", Communications on Pure and Applied Mathematics , 20 (3): 493–519, doi :10.1002/cpa.3160200302, Zbl  0152.34601, archivado desde el original el 2013-01-05Un artículo importante que describe el enfoque abstracto de los autores sobre la teoría de las desigualdades variacionales.
• Roubíček, Tomáš (2013), Ecuaciones diferenciales parciales no lineales con aplicaciones , ISNM. International Series of Numerical Mathematics, vol. 153 (2.ª ed.), Basilea–Boston–Berlín: Birkhäuser Verlag , pp. xx+476, doi :10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR  3014456, Zbl  1270.35005.
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413–4416, Zbl  0124.06401, disponible en Gallica . El artículo que contiene la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram .

• Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], "Desigualdades variacionales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Alessio Figalli, Sobre soluciones homogéneas globales al problema de Signorini,