Primera variación

En matemáticas aplicadas y cálculo de variaciones , la primera variación de un funcional J ( y ) se define como el funcional lineal${\displaystyle \delta J(y)}$mapeando la función h a

${\displaystyle \delta J(y,h)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {J(y+\varepsilon h)-J(y)}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},}$

donde y y h son funciones, y ε es un escalar. ^{[ 1 ]} Esto se reconoce como la derivada de Gateaux del funcional. ^{[ 1 ]}

Calcula la primera variación de

${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'\mathrm {d} x.}$

De la definición anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y,h)&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _ {a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _ {a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ \mathrm {d} x\\\end{aligned}}}$

• Cálculo de variaciones
• Derivado funcional
• Segunda variación