Teoría de la complementariedad

Un problema de complementariedad es un tipo de problema de optimización matemática . Es el problema de optimizar (minimizar o maximizar) una función de dos variables vectoriales sujetas a ciertos requisitos (restricciones) que incluyen: que el producto interno de los dos vectores debe ser igual a cero, es decir, que sean ortogonales. ^[1] En particular, para espacios vectoriales reales de dimensión finita esto significa que, si uno tiene vectores X e Y con todos los componentes no negativos ( x _i  ≥ 0 e y _i  ≥ 0 para todos : en el primer cuadrante si es bidimensional, en el primer octante si es tridimensional), entonces para cada par de componentes x _i e y _i uno del par debe ser cero, de ahí el nombre de complementariedad . p. ej. X  = (1, 0) e Y  = (0, 2) son complementarios, pero X  = (1, 1) e Y  = (2, 0) no lo son. Un problema de complementariedad es un caso especial de una desigualdad variacional . ${\estilo de visualización i}$

Los problemas de complementariedad se estudiaron originalmente porque las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker en programación lineal y programación cuadrática constituyen un problema de complementariedad lineal (LCP) o un problema de complementariedad mixta (MCP). En 1963, Lemke y Howson demostraron que, para juegos de dos personas, calcular un punto de equilibrio de Nash es equivalente a un LCP. En 1968, Cottle y Dantzig unificaron la programación lineal y cuadrática y los juegos bimatriciales . Desde entonces, el estudio de los problemas de complementariedad y las desigualdades variacionales se ha expandido enormemente.

Las áreas de las matemáticas y la ciencia que contribuyeron al desarrollo de la teoría de la complementariedad incluyen: optimización , problemas de equilibrio , teoría de la desigualdad variacional , teoría del punto fijo , teoría de grados topológicos y análisis no lineal .

• Programación matemática con restricciones de equilibrio
• Formato nl para representar problemas de complementariedad

• Richard W. Cottle; Jong-Shi Pang; Richard E. Stone (1992). El problema de complementariedad lineal . Academic Press . ISBN 978-0-12-192350-1.
• George Isac (1992). Problemas de complementariedad . Springer. ISBN 978-3-540-56251-1.
• George Isac (2000). Métodos topológicos en la teoría de la complementariedad . Springer. ISBN 978-0-7923-6274-6.
• Francisco Facchinei; Jong-Shi Pang (2003). Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad: v.1 y v.2 . Springer. ISBN 978-0-387-95580-3.
• Murty, KG (1988). Complementariedad lineal, programación lineal y no lineal. Serie Sigma en Matemáticas Aplicadas. Vol. 3. Berlín: Heldermann Verlag. pp. xlviii+629 pp. ISBN 3-88538-403-5. MR  0949214. Archivado desde el original el 1 de abril de 2010.

• Richard Cottle; F. Giannessi; Jacques Louis Lions, eds. (1980). Desigualdades variacionales y problemas de complementariedad: teoría y aplicaciones . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-27610-4.
• Michael C. Ferris; Jong-Shi Pang, eds. (1997). Complementariedad y problemas variacionales: estado del arte . SIAM . ISBN 978-0-89871-391-6.

• CPNET: Red de problemas de complementariedad