Problema de Signorini

Si${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$es cualquier vector tangente al conjunto de contactos${\displaystyle \Sigma }$, entonces la condición de contorno ambigua en cada punto de este conjunto se expresa mediante los siguientes dos sistemas de desigualdades

(3)     ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$     o (4)          ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

Analicemos su significado:

• Cada conjunto de condiciones consta de tres relaciones , igualdades o desigualdades , y todos los segundos miembros son la función cero .
• Las cantidades en el primer miembro de cada primera relación son proporcionales a la norma de la componente del vector de desplazamiento dirigida a lo largo del vector normal.${\displaystyle n}$.
• Las cantidades en el primer miembro de cada segunda relación son proporcionales a la norma de la componente del vector de tensión dirigida a lo largo del vector normal.${\displaystyle n}$,
• Las cantidades en el primer miembro de cada tercera relación son proporcionales a la norma de la componente del vector de tensión a lo largo de cualquier vector.${\displaystyle \tau }$tangente en el punto dado al conjunto de contactos${\displaystyle \Sigma }$.
• Las cantidades en el primer miembro de cada una de las tres relaciones son positivas si tienen el mismo sentido del vector al que son proporcionales , mientras que son negativas en caso contrario; por lo tanto, las constantes de proporcionalidad son respectivamente${\displaystyle \scriptstyle +1}$y ${\displaystyle \scriptstyle -1}$.

Conociendo estos hechos, el conjunto de condiciones (3) se aplica a los puntos del límite del cuerpo que no abandonan el conjunto de contacto .${\displaystyle \Sigma }$en la configuración de equilibrio , ya que, según la primera relación , el vector de desplazamiento${\displaystyle u}$no tiene componentes dirigidas como el vector normal${\displaystyle n}$, mientras que, según la segunda relación, el vector de tensión puede tener una componente dirigida como el vector normal.${\displaystyle n}$y teniendo el mismo sentido . De manera análoga, el conjunto de condiciones (4) se aplica a los puntos del límite del cuerpo que abandonan dicho conjunto en la configuración de equilibrio, ya que el vector de desplazamiento${\displaystyle u}$tiene un componente dirigido como el vector normal${\displaystyle n}$, mientras que el vector de tensión no tiene componentes dirigidas como el vector normal.${\displaystyle n}$Para ambos conjuntos de condiciones, el vector de tensión no tiene componente tangente al conjunto de contacto , según la hipótesis de que el cuerpo descansa sobre una superficie rígida sin fricción .

Cada sistema expresa una restricción unilateral , en el sentido de que expresan la imposibilidad física de que el cuerpo elástico penetre en la superficie donde descansa: la ambigüedad no reside solo en los valores desconocidos que deben satisfacer las cantidades no nulas en el conjunto de contacto , sino también en el hecho de que no se sabe a priori si un punto perteneciente a ese conjunto satisface el sistema de condiciones de contorno (3) o (4) . El conjunto de puntos donde se satisface (3) se denomina área de apoyo del cuerpo elástico en${\displaystyle \Sigma }$, mientras que su complemento respecto a${\displaystyle \Sigma }$se denomina área de separación .

La formulación anterior es general , ya que el tensor de tensiones de Cauchy, es decir, la ecuación constitutiva del cuerpo elástico, no se ha explicitado: es igualmente válida tanto bajo la hipótesis de elasticidad lineal como bajo la de elasticidad no lineal . Sin embargo, como se desprende de los siguientes desarrollos, el problema es inherentemente no lineal ; por lo tanto, asumir un tensor de tensiones lineal no lo simplifica .

La forma adoptada por Signorini y Fichera para la energía potencial elástica es la siguiente (como en los desarrollos anteriores, se adopta la notación de Einstein ):

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

dónde

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$es el tensor de elasticidad
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal

Por lo tanto, el tensor de tensiones de Cauchy tiene la siguiente forma:

(5)     ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

y es lineal con respecto a los componentes del tensor de deformación infinitesimal; sin embargo, no es homogéneo ni isotrópico .

El primer paso del análisis de Fichera, así como el primer paso del análisis de Antonio Signorini en Signorini 1959, es el análisis de la energía potencial , es decir, la siguiente función

(6)      ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

dónde${\displaystyle u}$pertenece al conjunto de desplazamientos admisibles${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$es decir, el conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno (3) o (4) . El significado de cada uno de los tres términos es el siguiente:

• La primera es la energía potencial elástica total del cuerpo elástico.
• La segunda es la energía potencial total debida a las fuerzas del cuerpo , por ejemplo, la fuerza gravitatoria.
• La tercera es la energía potencial debida a las fuerzas superficiales , por ejemplo, las fuerzas ejercidas por la presión atmosférica.

Signorini (1959 , pp. 129-133) pudo demostrar que el desplazamiento admisible ${\displaystyle u}$que minimizan la integral${\displaystyle I(u)}$es una solución del problema con condiciones de contorno ambiguas (1) , (2) , (3) , (4) y (5) , siempre que sea una${\displaystyle C^{1}}$función admitida en el cierre${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$del conjunto${\displaystyle A}$Sin embargo, Gaetano Fichera proporcionó una clase de contraejemplos en ( Fichera 1964b , pp. 619-620) que muestran que, en general, los desplazamientos admisibles no son funciones suaves de esta clase. Por lo tanto, Fichera intenta minimizar el funcional (6) en un espacio funcional más amplio : para ello, primero calcula la primera variación (o derivada funcional ) del funcional dado en la vecindad del desplazamiento admisible minimizador buscado. ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$y luego requiere que sea mayor o igual que cero.

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Definición de las siguientes funciones

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

y

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

La desigualdad anterior se puede escribir como

(7)      ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Esta desigualdad es la desigualdad variacional para el problema de Signorini .

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• Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs . Traducción al inglés del artículo anterior.
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