Diferencial exacto

Aunque trabajemos aquí en tres dimensiones, las definiciones de diferenciales exactos para otras dimensiones son estructuralmente similares a la definición tridimensional. En tres dimensiones, una forma del tipo $${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$$ Se denomina forma diferencial . Esta forma se denomina exacta en un dominio abierto.${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$en el espacio si existe alguna función escalar diferenciable${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$definido en${\displaystyle D}$de tal manera que $${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,\quad dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$ a lo largo de${\displaystyle D}$, dónde${\displaystyle x,y,z}$son coordenadas ortogonales (por ejemplo, coordenadas cartesianas , cilíndricas o esféricas ). En otras palabras, en algún dominio abierto del espacio, una forma diferencial es una diferencial exacta si es igual a la diferencial general de una función diferenciable en un sistema de coordenadas ortogonales.

Los subíndices fuera del paréntesis en la expresión matemática anterior indican qué variables se mantienen constantes durante la diferenciación. Debido a la definición de la derivada parcial , estos subíndices no son necesarios, pero se muestran aquí explícitamente a modo de recordatorio.

La diferencial exacta para una función escalar diferenciable${\displaystyle Q}$definido en un dominio abierto${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$es igual a${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$, dónde${\displaystyle \nabla Q}$es el gradiente de${\displaystyle Q}$,${\displaystyle \cdot }$representa el producto escalar y${\displaystyle d\mathbf {r} }$es el vector de desplazamiento diferencial general, si se utiliza un sistema de coordenadas ortogonales.${\displaystyle Q}$es de clase de diferenciabilidad${\displaystyle C^{1}}$( continuamente diferenciable ), entonces${\displaystyle \nabla Q}$es un campo vectorial conservativo para el potencial correspondiente${\displaystyle Q}$por definición. Para espacios tridimensionales, expresiones como${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$y${\displaystyle \nabla Q=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)}$se puede hacer.

El teorema del gradiente establece

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

que no depende de qué ruta integral entre los puntos extremos de la ruta dada${\displaystyle i}$y${\displaystyle f}$se elige. Por lo tanto, se concluye que la integral de una diferencial exacta es independiente de la elección de una trayectoria integral entre puntos extremos de trayectoria dados (independencia de trayectoria) .

Para espacios tridimensionales, si${\displaystyle \nabla Q}$definido en un dominio abierto${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$es de clase de diferenciabilidad${\displaystyle C^{1}}$(equivalentemente${\displaystyle Q}$es de${\displaystyle C^{2}}$), entonces esta independencia de la trayectoria integral también se puede demostrar utilizando la identidad del cálculo vectorial.${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$y el teorema de Stokes .

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

para un circuito simplemente cerrado${\displaystyle \partial \Sigma }$con la superficie lisa orientada${\displaystyle \Sigma }$en él. Si el dominio abierto${\displaystyle D}$es simplemente un espacio abierto conectado (en términos generales, un solo espacio abierto sin un agujero en su interior), entonces cualquier campo vectorial irrotacional (definido como un${\displaystyle C^{1}}$campo vectorial${\displaystyle \mathbf {v} }$cuyo rotacional es cero, es decir,${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$) tiene independencia de camino por el teorema de Stokes, por lo que se hace la siguiente afirmación; En una región abierta simplemente conexa, cualquier${\displaystyle C^{1}}$Un campo vectorial que posee la propiedad de independencia de trayectoria (es decir, es un campo vectorial conservativo) también debe ser irrotacional, y viceversa. La igualdad entre los campos vectoriales independientes de trayectoria y los conservativos se muestra aquí .

En una dimensión, una forma diferencial

${\displaystyle A(x)\,dx}$

es exacto si y solo si${\displaystyle A}$tiene una antiderivada (pero no necesariamente una en términos de funciones elementales ). Si${\displaystyle A}$tiene un antiderivado y deja${\displaystyle Q}$ser un antiderivado de${\displaystyle A}$entonces${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$, entonces${\displaystyle A(x)\,dx}$obviamente satisface la condición de exactitud. Si${\displaystyle A}$no tiene un antiderivado, entonces no podemos escribir${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$con${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$para una función diferenciable${\displaystyle Q}$entonces${\displaystyle A(x)\,dx}$es inexacto.

Por simetría de las segundas derivadas , para cualquier función "bien comportada" (no patológica )${\displaystyle Q}$, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

Por lo tanto, en una región simplemente conexa R del plano xy , donde${\displaystyle x,y}$son independientes, ^{[ 1 ]} una forma diferencial

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

es una diferencial exacta si y solo si la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

se sostiene. Si es un diferencial exacto entonces${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$y${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$, entonces${\displaystyle Q}$es una función diferenciable (continuamente suave) a lo largo de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, entonces${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$. Si${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$sostiene, entonces${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son funciones diferenciables (de nuevo, suavemente continuas) a lo largo de${\displaystyle y}$y${\displaystyle x}$respectivamente y${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$Es el único caso.

Para tres dimensiones, en una región simplemente conexa R del sistema de coordenadas xyz , por una razón similar, se obtiene una derivada

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

es una diferencial exacta si y solo si entre las funciones A , B y C existen las relaciones

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$; ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

Estas condiciones son equivalentes a la siguiente frase: Si G es la gráfica de esta función vectorial, entonces para todos los vectores tangentes X , Y de la superficie G, entonces s ( X , Y ) = 0, donde s es la forma simpléctica .   

Estas condiciones, que son fáciles de generalizar, surgen de la independencia del orden de las diferenciaciones en el cálculo de las segundas derivadas. Así, para que una diferencial dQ , que es una función de cuatro variables, sea una diferencial exacta, existen seis condiciones (la combinación${\displaystyle C(4,2)=6}$) para satisfacer.

Igualando el primer término entre paréntesis a cero se obtiene

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

Una ligera reorganización da lugar a una relación de reciprocidad,

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

Hay dos permutaciones más de la derivación anterior que dan un total de tres relaciones de reciprocidad entre${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$.

La relación cíclica también se conoce como regla cíclica o regla del triple producto . Igualando el segundo término entre paréntesis a cero se obtiene

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

Utilizando una relación de reciprocidad para${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$En esta ecuación y reordenándola se obtiene una relación cíclica (la regla del triple producto ),

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

Si, en cambio , las relaciones de reciprocidad para${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$y${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$Se utilizan con una reorganización posterior, obteniéndose una forma estándar para la diferenciación implícita :

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$