Factor integrador

En matemáticas , un factor de integración es una función que se elige para facilitar la resolución de una ecuación dada que involucra diferenciales . Se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias , pero también se usa dentro del cálculo multivariable cuando la multiplicación por un factor de integración permite convertir una diferencial inexacta en una diferencial exacta (que luego se puede integrar para dar un campo escalar ). Esto es especialmente útil en termodinámica , donde la temperatura se convierte en el factor de integración que hace que la entropía sea una diferencial exacta.

Un factor de integración es cualquier expresión por la que se multiplica una ecuación diferencial para facilitar la integración. Por ejemplo, la ecuación no lineal de segundo orden

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$

admite como factor integrador: ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}$

Para integrar, tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación pueden expresarse como derivadas yendo hacia atrás con la regla de la cadena :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.}$

donde es una constante. ${\displaystyle C_{0}}$

Este formato puede ser más útil, según la aplicación. Realizar una separación de variables dará como resultado

${\displaystyle \int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t}$

Esta es una solución implícita que implica una integral no elemental . Este mismo método se utiliza para resolver el período de un péndulo simple .

Los factores de integración son útiles para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden expresarse en la forma

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

La idea básica es encontrar una función, por ejemplo , llamada "factor de integración", que podemos multiplicar por nuestra ecuación diferencial para llevar el lado izquierdo a una derivada común. Para la ecuación diferencial lineal canónica de primer orden que se muestra arriba, el factor de integración es . ${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}}$

Nótese que no es necesario incluir la constante arbitraria en la integral, o valores absolutos en caso de que la integral de involucre un logaritmo. En primer lugar, solo necesitamos un factor integrante para resolver la ecuación, no todos los posibles; en segundo lugar, dichas constantes y valores absolutos se cancelarán incluso si se incluyen. Para valores absolutos, esto se puede ver escribiendo , donde se refiere a la función de signo , que será constante en un intervalo si es continua. Como no está definido cuando , y un logaritmo en la antiderivada solo aparece cuando la función original involucró un logaritmo o un recíproco (ninguno de los cuales está definido para 0), dicho intervalo será el intervalo de validez de nuestra solución. ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)}$${\displaystyle \operatorname {sgn} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \ln |f(x)|}$${\displaystyle f(x)=0}$

Para derivar esto, sea el factor integrador de una ecuación diferencial lineal de primer orden tal que la multiplicación por transforma una expresión no integrable en una derivada integrable, luego: ${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle M(x)}$

1. ${\displaystyle M(x){\underset {\text{non-integrable expression}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}}$
2. ${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}$
3. ${\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{integrable derivative}}}$

Para pasar del paso 2 al paso 3 se requiere que , que es una ecuación diferencial separable , cuya solución da como resultado en términos de : ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle P(x)}$

4. ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$
5. ${\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}$
6. ${\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}$
7. ${\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}}$

Para verificar, multiplicando por se obtiene ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}$

Aplicando la regla del producto a la inversa, vemos que el lado izquierdo se puede expresar como una única derivada en${\displaystyle x}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)}$

Usamos este hecho para simplificar nuestra expresión a

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}$

Integrando ambos lados con respecto a${\displaystyle x}$

${\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}$

${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}$

donde es una constante. ${\displaystyle C}$

Moviendo la exponencial al lado derecho, la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es:

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}}$

En el caso de una ecuación diferencial homogénea , y la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es: ${\displaystyle Q(x)=0}$

${\displaystyle y=Ce^{-\int P(x)\,dx}}$.

Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

Podemos ver que en este caso${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

Multiplicando ambos lados por obtenemos ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

La ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0}$

Integrando ambos lados con respecto a x obtenemos

${\displaystyle x^{-2}y=C}$

o

${\displaystyle y=Cx^{2}}$

El mismo resultado se puede lograr utilizando el siguiente enfoque

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

Invirtiendo la regla del cociente obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

o

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C,}$

o

${\displaystyle y=Cx^{2}.}$

donde es una constante. ${\displaystyle C}$

El método de integración de factores para ecuaciones de primer orden se puede extender naturalmente también a ecuaciones de segundo orden. El objetivo principal al resolver ecuaciones de primer orden era encontrar un factor de integración tal que al multiplicarlo se obtuviera , después de lo cual la integración y división subsiguientes por darían como resultado . Para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, si queremos trabajar como un factor de integración, entonces ${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle y'+p(x)y=h(x)}$${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)h(x)}$${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M(x)=e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}$

Esto implica que una ecuación de segundo orden debe tener exactamente la forma para que el factor integrador sea utilizable. ${\displaystyle y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)}$

Por ejemplo, la ecuación diferencial

${\displaystyle y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0}$

se puede resolver exactamente con factores integrantes. La adecuada se puede deducir examinando el término. En este caso, , por lo que . Después de examinar el término, vemos que de hecho tenemos , por lo que multiplicaremos todos los términos por el factor integrante . Esto nos da ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle 2p(x)=2x}$${\displaystyle p(x)=x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1}$${\displaystyle e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}}$

${\displaystyle e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle \left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0}$

Integrando dos veces obtenemos

${\displaystyle e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}}$

Dividiendo por el factor integrador obtenemos:

${\displaystyle y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}}$

Una aplicación ligeramente menos obvia de los factores integradores de segundo orden implica la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle y''+2\cot(x)y'-y=1}$

A primera vista, esto claramente no está en la forma necesaria para los factores de integración de segundo orden. Tenemos un término delante de pero no delante de . Sin embargo, ${\displaystyle 2p(x)}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)}$

y de la identidad pitagórica que relaciona la cotangente y la cosecante,

${\displaystyle \cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1}$

De modo que realmente tenemos el término requerido delante y podemos usar factores integradores. ${\displaystyle y}$

${\displaystyle e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)}$

Multiplicando cada término por obtenemos ${\displaystyle \sin(x)}$

${\displaystyle \sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)}$

que reordenado es

${\displaystyle (\sin(x)y)''=\sin(x)}$

Integrando dos veces se obtiene

${\displaystyle \sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}}$

Finalmente, dividiendo por el factor integrador se obtiene

${\displaystyle y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1}$

Los factores de integración se pueden extender a cualquier orden, aunque la forma de la ecuación necesaria para aplicarlos se vuelve cada vez más específica a medida que aumenta el orden, lo que los hace menos útiles para órdenes 3 y superiores. La idea general es diferenciar los tiempos de función para una ecuación diferencial de orden n y combinar términos iguales. Esto producirá una ecuación en la forma ${\displaystyle M(x)y}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$

Si una ecuación de orden ésimo coincide con la forma que se obtiene después de diferenciar tiempos, se pueden multiplicar todos los términos por el factor integrador e integrar tiempos, dividiendo por el factor integrador en ambos lados para lograr el resultado final. ${\displaystyle n}$${\displaystyle F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h(x)M(x)}$ ${\displaystyle n}$

Un uso de tercer orden de los factores integradores da

${\displaystyle (M(x)y)'''=M(x)\left(y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y\right)}$

por lo que se requiere que nuestra ecuación esté en la forma

${\displaystyle \left(y'''+3p(x)y''+(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y=h(x)}$

Por ejemplo, en la ecuación diferencial

${\displaystyle y'''+3x^{2}y''+\left(3x^{4}+6x\right)y'+\left(x^{6}+6x^{3}+2\right)y=0}$

tenemos , por lo que nuestro factor de integración es . Reordenando obtenemos ${\displaystyle p(x)=x^{2}}$${\displaystyle e^{x^{3}/3}}$

${\displaystyle \left(e^{x^{3}/3}y\right)'''=0}$

Integrando tres veces y dividiendo por el factor integrante obtenemos

${\displaystyle y={\frac {c_{1}x^{2}+c_{2}x+c_{3}}{e^{x^{3}/3}}}}$

• Variación de parámetros
• Ecuaciones diferenciales
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Diferencial exacto
• Matriz exponencial

• Munkhammar, Joakim, "Factor integrador", MathWorld.