Variación de parámetros

En matemáticas , la variación de parámetros , también conocida como variación de constantes , es un método general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas .

Para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden, generalmente es posible encontrar soluciones a través de factores de integración o coeficientes indeterminados con considerablemente menos esfuerzo, aunque esos métodos aprovechan heurísticas que implican conjeturas y no funcionan para todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

La variación de parámetros se extiende también a las ecuaciones diferenciales parciales lineales, específicamente a los problemas no homogéneos para ecuaciones de evolución lineal como la ecuación del calor , la ecuación de onda y la ecuación de la placa vibratoria . En este contexto, el método se conoce más a menudo como principio de Duhamel , llamado así por Jean-Marie Duhamel (1797-1872), quien aplicó por primera vez el método para resolver la ecuación del calor no homogénea. A veces, la variación de los parámetros en sí se llama principio de Duhamel y viceversa.

El método de variación de parámetros fue esbozado por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), y luego completado por el matemático italo-francés Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). ^[1]

Un precursor del método de variación de los elementos orbitales de un cuerpo celeste apareció en el trabajo de Euler en 1748, mientras estudiaba las perturbaciones mutuas de Júpiter y Saturno. ^[2] En su estudio de 1749 sobre los movimientos de la Tierra, Euler obtuvo ecuaciones diferenciales para los elementos orbitales. ^[3] En 1753, aplicó el método a su estudio de los movimientos de la Luna. ^[4]

Lagrange utilizó el método por primera vez en 1766. ^[5] Entre 1778 y 1783, desarrolló aún más el método en dos series de memorias: una sobre las variaciones en los movimientos de los planetas ^[6] y otra sobre la determinación de la órbita de un cometa a partir de tres observaciones. ^[7] Durante 1808-1810, Lagrange dio al método de variación de parámetros su forma final en una tercera serie de artículos. ^[8]

Dada una ecuación diferencial lineal no homogénea ordinaria de orden n

Sea una base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$

Entonces una solución particular para la ecuación no homogénea viene dada por

donde son funciones diferenciables que se supone que satisfacen las condiciones ${\displaystyle c_{i}(x)}$

Comenzando con ( iii ), la diferenciación repetida combinada con el uso repetido de ( iv ) da

Una última diferenciación da

Sustituyendo ( iii ) en ( i ) y aplicando ( v ) y ( vi ) se deduce que

El sistema lineal ( iv y vii ) de n ecuaciones se puede resolver entonces utilizando la regla de Cramer, obteniéndose

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

donde es el determinante wronskiano de la base y es el determinante wronskiano de la base con la i -ésima columna reemplazada por${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$${\displaystyle W_{i}(x)}$${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

La solución particular de la ecuación no homogénea puede entonces escribirse como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.}$

Consideremos la ecuación del resorte sin dispersión forzada, en unidades adecuadas:

${\displaystyle x''(t)+x(t)=F(t).}$

Donde x es el desplazamiento del resorte desde el equilibrio x = 0 y F ( t ) es una fuerza externa aplicada que depende del tiempo. Cuando la fuerza externa es cero, esta es la ecuación homogénea (cuyas soluciones son combinaciones lineales de senos y cosenos, correspondientes al resorte oscilando con energía total constante).

Podemos construir la solución físicamente, de la siguiente manera. Entre los tiempos y , el momento correspondiente a la solución tiene un cambio neto (ver: Impulso (física) ). Una solución a la ecuación no homogénea, en el tiempo actual t > 0 , se obtiene superponiendo linealmente las soluciones obtenidas de esta manera, para s que va entre 0 y t . ${\displaystyle t=s}$${\displaystyle t=s+ds}$${\displaystyle F(s)\,ds}$

El problema de valor inicial homogéneo, que representa un pequeño impulso que se agrega a la solución en el momento , es ${\displaystyle F(s)\,ds}$${\displaystyle t=s}$

${\displaystyle x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

Se ve fácilmente que la única solución a este problema es . La superposición lineal de todas estas soluciones está dada por la integral: ${\displaystyle x(t)=F(s)\sin(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds.}$

Para verificar que esto satisface la ecuación requerida:

${\displaystyle x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),}$

según sea necesario (ver: regla integral de Leibniz ).

El método general de variación de parámetros permite resolver una ecuación lineal no homogénea

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

al considerar el operador diferencial lineal de segundo orden L como la fuerza neta, entonces el impulso total impartido a una solución entre el tiempo s y s + ds es F ( s ) ds . Denote por la solución del problema de valor inicial homogéneo ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

Entonces una solución particular de la ecuación no homogénea es

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,}$

el resultado de superponer linealmente las soluciones homogéneas infinitesimales. Existen generalizaciones para operadores diferenciales lineales de orden superior.

En la práctica, la variación de parámetros suele implicar la solución fundamental del problema homogéneo, y las soluciones infinitesimales se dan entonces en términos de combinaciones lineales explícitas de soluciones fundamentales linealmente independientes. En el caso del resorte sin dispersión forzada, el núcleo es la descomposición asociada en soluciones fundamentales. ${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle \sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t}$

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

La solución complementaria de nuestra ecuación original (no homogénea) es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (escrita a continuación):

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

Esta ecuación diferencial homogénea se puede resolver mediante diferentes métodos, por ejemplo separación de variables :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

La solución complementaria a nuestra ecuación original es por tanto:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Ahora volvemos a resolver la ecuación no homogénea:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Utilizando el método de variación de parámetros, la solución particular se forma multiplicando la solución complementaria por una función desconocida C ( x ):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

Sustituyendo la solución particular en la ecuación no homogénea, podemos encontrar C ( x ):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

Solo necesitamos una única solución particular, por lo que la seleccionamos de manera arbitraria para simplificar. Por lo tanto, la solución particular es: ${\displaystyle C_{1}=0}$

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

La solución final de la ecuación diferencial es:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

Esto recrea el método de integración de factores .

Vamos a resolverlo

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

Queremos encontrar la solución general de la ecuación diferencial, es decir, queremos encontrar soluciones a la ecuación diferencial homogénea.

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

La ecuación característica es:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

Como es una raíz repetida, tenemos que introducir un factor de x para una solución para asegurar la independencia lineal: y . El wronskiano de estas dos funciones es ${\displaystyle \lambda =-2}$${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

Como el wronskiano no es cero, las dos funciones son linealmente independientes, por lo que esta es de hecho la solución general para la ecuación diferencial homogénea (y no un mero subconjunto de ella).

Buscamos las funciones A ( x ) y B ( x ) por lo que A ( x ) u ₁  +  B ( x ) u ₂ es una solución particular de la ecuación no homogénea. Solo necesitamos calcular las integrales

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

Recuerde que para este ejemplo

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

Eso es,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

donde y son constantes de integración. ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

Tenemos una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

y definimos el operador lineal

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

donde D representa el operador diferencial . Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación para , donde y son conocidos. ${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$

Debemos resolver primero la ecuación homogénea correspondiente:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

por la técnica que elijamos. Una vez que hayamos obtenido dos soluciones linealmente independientes para esta ecuación diferencial homogénea (porque esta EDO es de segundo orden) —llamémoslas u ₁ y u ₂ — podemos proceder con la variación de parámetros.

Ahora, buscamos la solución general de la ecuación diferencial que suponemos que tiene la forma ${\displaystyle u_{G}(x)}$

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

Aquí, y son desconocidas y y son las soluciones de la ecuación homogénea. (Observe que si y son constantes, entonces .) Como lo anterior es solo una ecuación y tenemos dos funciones desconocidas, es razonable imponer una segunda condición. Elegimos lo siguiente: ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle u_{1}(x)}$${\displaystyle u_{2}(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

Ahora,

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

Diferenciando de nuevo (omitiendo pasos intermedios)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Ahora podemos escribir la acción de L sobre u _G como

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Como u ₁ y u ₂ son soluciones, entonces

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Tenemos el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

En expansión,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

Así pues, el sistema anterior determina con precisión las condiciones

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

Buscamos A ( x ) y B ( x ) a partir de estas condiciones, por lo que, dado

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

podemos resolver para ( A ′( x ), B ′( x )) ^T , entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

donde W denota el wronskiano de u ₁ y u ₂ . (Sabemos que W no es cero, a partir del supuesto de que u ₁ y u ₂ son linealmente independientes). Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Si bien las ecuaciones homogéneas son relativamente fáciles de resolver, este método permite calcular los coeficientes de la solución general de la ecuación no homogénea, y así se puede determinar la solución general completa de la ecuación no homogénea.

Tenga en cuenta que y se determinan solo hasta una constante aditiva arbitraria (la constante de integración ). Agregar una constante a o no cambia el valor de porque el término adicional es solo una combinación lineal de u ₁ y u ₂ , que es una solución de por definición. ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)}$${\displaystyle L}$

• Fórmula de Alekseev-Gröbner , una generalización de la fórmula de variación de constantes.
• Reducción de pedidos

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . McGraw-Hill .
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (8.ª ed.). Wiley. págs.  186– 192, 237– 241.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. American Mathematical Society .

• Notas en línea / Prueba de Paul Dawkins, Universidad Lamar .
• Página de PlanetMath.
• UNA NOTA SOBRE EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS DE LAGRANGE