Ecuación diferencial exacta

En matemáticas , una ecuación diferencial exacta o ecuación diferencial total es un tipo específico de ecuación diferencial ordinaria que se utiliza ampliamente en física e ingeniería.

Definición

Dado un subconjunto abierto y simplemente conexo D de $\mathbb {R} ^{2}$ y dos funciones I y J que son continuas en D , una ecuación diferencial ordinaria implícita de primer orden de la forma

I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,

Se denomina ecuación diferencial exacta si existe una función F continuamente diferenciable , denominada función potencial , ^[¹^]^[²^] de modo que

{\frac {\partial F}{\partial x}}=I

y

{\frac {\partial F}{\partial y}}=J.

También se puede presentar una ecuación exacta de la siguiente forma:

I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0

donde se aplican las mismas restricciones a I y J para que la ecuación diferencial sea exacta.

La nomenclatura de "ecuación diferencial exacta" se refiere a la diferencial exacta de una función. Para una función $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ , la derivada exacta o total con respecto a $x_{0}$ es dado por

{\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.

Ejemplo

La función $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ dado por

F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c

es una función potencial para la ecuación diferencial

x\,dx+y\,dy=0.\,

Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Identificación de ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Dejemos que las funciones ${\textstyle M}$ , ${\textstyle N}$ , ${\textstyle M_{y}}$ , y ${\textstyle N_{x}}$ , donde los subíndices denotan la derivada parcial con respecto a la variable relativa, sea continua en la región ${\textstyle R:\alpha <x<\beta,\gamma <y<\delta}$ . Entonces la ecuación diferencial

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$

es exacto si y solo si

${\ Displaystyle M_ {y} (x, y) = N_ {x} (x, y)}$

Es decir, existe una función $\psi (x,y)$ , llamada función potencial , tal que

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ y }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

En general:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

Prueba

La demostración tiene dos partes.

Primero, supongamos que hay una función $\psi (x,y)$ de tal manera que $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ y }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

De ello se deduce que $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ y }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$

Desde $M_{y}$ y $N_{x}$ son continuos, entonces $\psi _{xy}$ y $\psi _{yx}$ También son continuas, lo que garantiza su igualdad.

La segunda parte de la demostración implica la construcción de $\psi (x,y)$ y también puede utilizarse como procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales exactas de primer orden. Supongamos que ${\ Displaystyle M_ {y} (x, y) = N_ {x} (x, y)}$ y que haya una función $\psi (x,y)$ para qué $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ y }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Comience integrando la primera ecuación con respecto a $x$ En la práctica, no importa si se integra la primera o la segunda ecuación, siempre y cuando la integración se realice con respecto a la variable apropiada.

${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$ $\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)$ $\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$

dónde $Q(x,y)$ es cualquier función diferenciable tal que $Q_{x}=M$ . La función $h(y)$ desempeña el papel de una constante de integración, pero en lugar de ser simplemente una constante, es una función de $y$ , desde $M$ es una función de ambos $x$ y $y$ y solo nos estamos integrando con respecto a $x$ .

Ahora, para demostrar que siempre es posible encontrar un $h(y)$ de tal manera que $\psi _{y}=N$ . $\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$

Diferencie ambos lados con respecto a $y$ . ${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$

Establezca el resultado igual a $N$ y resolver para $h'(y)$ . $h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$

Para determinar $h'(y)$ De esta ecuación, el lado derecho debe depender únicamente de $y$ Esto se puede probar demostrando que su derivada con respecto a $x$ siempre es cero, así que derivamos el lado derecho con respecto a $x$ . ${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$

Desde $Q_{x}=M$ , ${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)$ Ahora bien, esto es cero según nuestra suposición inicial de que $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

Por lo tanto, $h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$ $h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$

$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int \left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)\,dy+C$

Y con esto concluye la demostración.

Soluciones a ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden de la forma $M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$

puede escribirse en términos de la función potencial $\psi (x,y)$ ${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$

dónde ${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

Esto es equivalente a tomar la derivada total de $\psi (x,y)$ . ${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$

Las soluciones a una ecuación diferencial exacta vienen dadas por $\psi (x,y(x))=c$

y el problema se reduce a encontrar $\psi (x,y)$ .

Esto se puede hacer integrando las dos expresiones. $M(x,y)\,dx$ y $N(x,y)\,dy$ y luego escribir cada término en las expresiones resultantes solo una vez y sumarlos para obtener $\psi (x,y)$ .

El razonamiento detrás de esto es el siguiente. Dado que ${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

De ello se deduce, al integrar ambas partes, que ${\begin{cases}\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int N(x,y)\,dy+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$

Por lo tanto, $Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$

dónde $Q(x,y)$ y $P(x,y)$ son funciones diferenciables tales que $Q_{x}=M$ y $P_{y}=N$ .

Para que esto sea cierto y para que ambas partes resulten en la misma expresión exacta, a saber: $\psi (x,y)$ , entonces $h(y)$ debe estar contenido dentro de la expresión para $P(x,y)$ porque no puede ser contenido dentro $g(x)$ , puesto que es enteramente una función de $y$ y no $x$ y por lo tanto no se le permite tener nada que ver con $x$ . Por analogía, $g(x)$ debe estar contenido dentro de la expresión $Q(x,y)$ .

Es decir, $Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$

para algunas expresiones $f(x,y)$ y $d(x,y)$ Sustituyendo en la ecuación anterior, encontramos que $g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$ y entonces $f(x,y)$ y $d(x,y)$ resultan ser la misma función. Por lo tanto, $Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$

Dado que ya lo demostramos ${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$

resulta que $\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$

Entonces, podemos construir $\psi (x,y)$ haciendo $\int M(x,y)\,dx$ y $\int N(x,y)\,dy$ y luego tomando los términos comunes que encontramos dentro de las dos expresiones resultantes (es decir, $f(x,y)$ ) y luego agregando los términos que se encuentran exclusivamente en cualquiera de ellos – $g(x)$ y $h(y)$ .

Ecuaciones diferenciales exactas de segundo orden

El concepto de ecuaciones diferenciales exactas puede extenderse a ecuaciones de segundo orden. ^{[ 3 ]} Consideremos comenzar con la ecuación exacta de primer orden:

I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0

Dado que ambas funciones $I(x,y)$ , $J(x,y)$ son funciones de dos variables, diferenciando implícitamente la función multivariada se obtiene

{dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

Al expandir las derivadas totales se obtiene que

{dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}

y eso

{dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}

Combinando el ${\textstyle {dy \over dx}}$ términos da

{\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

Si la ecuación es exacta, entonces ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ . Además, la derivada total de $J(x,y)$ es igual a su derivada ordinaria implícita ${\textstyle {dJ \over dx}}$ Esto conduce a la ecuación reescrita.

{\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

Ahora bien, supongamos que existe alguna ecuación diferencial de segundo orden.

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

Si ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ para ecuaciones diferenciales exactas, entonces

\int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy

y

\int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy=I(x,y)-h(x)

dónde $h(x)$ es alguna función arbitraria solamente de $x$ que se derivó a cero al tomar la derivada parcial de $I(x,y)$ con respecto a $y$ Aunque el letrero en $h(x)$ podría ser positivo, es más intuitivo pensar en el resultado de la integral como $I(x,y)$ que le falta alguna función extra original $h(x)$ que se diferenció parcialmente a cero.

A continuación, si

{dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}

entonces el término ${\partial I \over \partial x}$ debería ser una función únicamente de $x$ y $y$ , ya que la diferenciación parcial con respecto a $x$ se celebrará $y$ constante y no producir ningún derivado de $y$ En la ecuación de segundo orden

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

solo el término $f(x,y)$ es un término puramente de $x$ y $y$ . Dejar ${\partial I \over \partial x}=f(x,y)$ . Si ${\partial I \over \partial x}=f(x,y)$ , entonces

f(x,y)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}

Dado que la derivada total de $I(x,y)$ con respecto a $x$ es equivalente a la derivada ordinaria implícita ${dI \over dx}$ , entonces

f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}(I(x,y)-h(x))+{dh(x) \over dx}

Entonces,

{dh(x) \over dx}=f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))

y

h(x)=\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx

Por lo tanto, la ecuación diferencial de segundo orden

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0

es exacto solo si $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ y solo si la siguiente expresión

\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx=\int \left(f(x,y)-{\partial \left(I(x,y)-h(x)\right) \over \partial x}\right)\,dx

es una función únicamente de $x$ . Una vez $h(x)$ se calcula con su constante arbitraria, se suma a $I(x,y)-h(x)$ hacer $I(x,y)$ Si la ecuación es exacta, entonces podemos reducirla a la forma exacta de primer orden, que se puede resolver mediante el método habitual para ecuaciones exactas de primer orden.

I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0

Ahora bien, en la solución implícita final habrá una $C_{1}x$ término de integración de $h(x)$ con respecto a $x$ el doble de bien que un $C_{2}$ , dos constantes arbitrarias como se espera de una ecuación de segundo orden.

Ejemplo

Dada la ecuación diferencial

(1-x^{2})y''-4xy'-2y=0

Siempre se puede comprobar fácilmente la exactitud examinando el $y''$ término. En este caso, tanto la derivada parcial como la total de $1-x^{2}$ con respecto a $x$ son $-2x$ , por lo tanto su suma es $-4x$ , que es exactamente el término que está delante de $y'$ . Cumplida una de las condiciones de exactitud, se puede calcular que

\int (-2x)\,dy=I(x,y)-h(x)=-2xy

Alquiler $f(x,y)=-2y$ , entonces

\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}(-2xy)\right)\,dx=\int (-2y-2xy'+2xy'+2y)\,dx=\int (0)\,dx=h(x)

Entonces, $h(x)$ es de hecho una función únicamente de $x$ y la ecuación diferencial de segundo orden es exacta. Por lo tanto, $h(x)=C_{1}$ y $I(x,y)=-2xy+C_{1}$ La reducción a una ecuación exacta de primer orden produce

-2xy+C_{1}+(1-x^{2})y'=0

Integración $I(x,y)$ con respecto a $x$ rendimientos

-x^{2}y+C_{1}x+i(y)=0

dónde $i(y)$ es alguna función arbitraria de $y$ . Diferenciando con respecto a $y$ proporciona una ecuación que correlaciona la derivada y la $y'$ término.

-x^{2}+i'(y)=1-x^{2}

Entonces, $i(y)=y+C_{2}$ y la solución implícita completa se convierte en

C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0

Resolver explícitamente para $y$ rendimientos

y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}

Ecuaciones diferenciales exactas de orden superior

Los conceptos de ecuaciones diferenciales exactas pueden extenderse a cualquier orden. Comenzando con la ecuación exacta de segundo orden.

{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f(x,y)=0

Se demostró previamente que la ecuación se define de tal manera que

f(x,yt)={dht(x) \over dx}+{d \over dx}(I(x,y)-h(x))-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}

Diferenciación implícita de la ecuación exacta de segundo orden $n$ Los tiempos producirán un $(n+2)$ Ecuación diferencial de orden n con nuevas condiciones de exactitud que se pueden deducir fácilmente de la forma de la ecuación resultante. Por ejemplo, al diferenciar una vez la ecuación diferencial de segundo orden anterior para obtener una ecuación exacta de tercer orden, se obtiene la siguiente forma:

{d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df(x,y) \over dx}=0

dónde

{df(x,y) \over dx}={d^{2}h(x) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)

y dónde $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ es una función únicamente de $x,y$ y ${dy \over dx}$ . Combinando todo ${dy \over dx}$ y ${d^{2}y \over dx^{2}}$ términos que no provienen de $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ da

{d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0

Por lo tanto, las tres condiciones de exactitud para una ecuación diferencial de tercer orden son: ${d^{2}y \over dx^{2}}$ El término debe ser $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ , el ${dy \over dx}$ El término debe ser ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ y

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)

debe ser una función únicamente de $x$ .

Ejemplo

Consideremos la ecuación diferencial no lineal de tercer orden.

yy'''+3y'y''+12x^{2}=0

Si $J(x,y)=y$ , entonces $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ es $2y'y''$ y $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$ que juntos suman $3y'y''$ Afortunadamente, esto aparece en nuestra ecuación. Para la última condición de exactitud,

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I(x,y)-h(x)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}

que de hecho es una función únicamente de $x$ . Por lo tanto, la ecuación diferencial es exacta. Integrando dos veces se obtiene que $h(x)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I(x,y)$ Reescribiendo la ecuación como una ecuación diferencial exacta de primer orden se obtiene

x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0

Integración $I(x,y)$ con respecto a $x$ da eso ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i(y)=0$ . Diferenciando con respecto a $y$ y equiparando eso al término que está delante de $y'$ en la ecuación de primer orden se obtiene que $i'(y)=y$ y eso $i(y)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ . La solución implícita completa se convierte en

{x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0

La solución explícita, entonces, es

y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}

Véase también

Referencias

↑ Wolfgang Walter (11 de marzo de 2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0601-9.
↑ Vladimir A. Dobrushkin (16 de diciembre de 2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: El curso básico . CRC Press. ISBN 978-1-4987-2835-5.
↑ Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1963). «Solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes no constantes. Método de reducción de orden». Ecuaciones diferenciales ordinarias: Un libro de texto elemental para estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias . Nueva York: Dover. 248 págs . ISBN 0-486-64940-7.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Lecturas adicionales

Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Ecuaciones diferenciales elementales (4.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8

[Walter2013-1] Wolfgang Walter (11 de marzo de 2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0601-9.

[Dobrushkin2014-2] Vladimir A. Dobrushkin (16 de diciembre de 2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: El curso básico . CRC Press. ISBN 978-1-4987-2835-5.

[3] Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1963). «Solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes no constantes. Método de reducción de orden». Ecuaciones diferenciales ordinarias: Un libro de texto elemental para estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias . Nueva York: Dover. 248 págs . ISBN 0-486-64940-7.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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