Diferencial de una función

En cálculo , el diferencial representa la parte principal del cambio en una función.${\displaystyle y=f(x)}$con respecto a los cambios en la variable independiente. El diferencial${\displaystyle dy}$se define por $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$ dónde${\displaystyle f'(x)}$es la derivada de f con respecto a${\displaystyle x}$, y${\displaystyle dx}$es una variable real adicional (de modo que${\displaystyle dy}$es una función de${\displaystyle x}$y${\displaystyle dx}$). La notación es tal que la ecuación

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$

se cumple, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz${\displaystyle dy/dx}$y esto es consistente con considerar la derivada como el cociente de los diferenciales. También se escribe

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$

El significado preciso de las variables${\displaystyle dy}$y${\displaystyle dx}$Depende del contexto de la aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si el diferencial se considera como una forma diferencial particular , o un significado analítico si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables${\displaystyle dx}$y${\displaystyle dy}$se consideran muy pequeños ( infinitesimales ), y esta interpretación se hace rigurosa en el análisis no estándar .

El diferencial fue introducido por primera vez mediante una definición intuitiva o heurística por Isaac Newton y desarrollado posteriormente por Gottfried Leibniz , quien concibió el diferencial dy como un cambio infinitesimal en el valor y de la función, correspondiente a un cambio infinitesimal dx en el argumento x de la función . Por esta razón, la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x , que es el valor de la derivada de la función, se denota por la fracción    

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$ en lo que se denomina la notación de Leibniz para derivadas. El cociente${\displaystyle dy/dx}$no es infinitamente pequeño; más bien es un número real .

El uso de infinitesimales en esta forma fue ampliamente criticado, por ejemplo, por el famoso panfleto El Analista del obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) definió el diferencial sin recurrir al atomismo de los infinitesimales de Leibniz. ^{[ 1 ] [ 2 ]} En cambio, Cauchy, siguiendo a d'Alembert , invirtió el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: la derivada misma se convirtió en el objeto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferencias, y los diferenciales se definieron entonces en términos de ella. Es decir, uno era libre de definir el diferencial.${\displaystyle dy}$mediante una expresión $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$$ en el cual${\displaystyle dy}$y${\displaystyle dx}$son simplemente nuevas variables que toman valores reales finitos, ^{[ 3 ]} no infinitesimales fijos como lo habían sido para Leibniz. ^{[ 4 ]}

Según Boyer (1959 , p. 12) , el enfoque de Cauchy fue una mejora lógica significativa con respecto al enfoque infinitesimal de Leibniz porque, en lugar de invocar la noción metafísica de infinitesimales, las cantidades ${\displaystyle dy}$y${\displaystyle dx}$Ahora se podían manipular exactamente de la misma manera que cualquier otra cantidad real de forma significativa. El enfoque conceptual general de Cauchy sobre los diferenciales sigue siendo el estándar en los tratamientos analíticos modernos, ^{[ 5 ]} aunque la última palabra sobre rigor, una noción completamente moderna del límite, se debió en última instancia a Karl Weierstrass . ^{[ 6 ]}

En tratamientos físicos, como los aplicados a la teoría de la termodinámica , la perspectiva infinitesimal aún prevalece. Courant y John (1999 , p. 184) concilian el uso físico de los diferenciales infinitesimales con su imposibilidad matemática de la siguiente manera: los diferenciales representan valores finitos distintos de cero, menores que el grado de precisión requerido para el propósito específico para el que están destinados. Por lo tanto, los «infinitesimales físicos» no necesitan recurrir a un infinitesimal matemático correspondiente para tener un sentido preciso. 

Tras los avances del siglo XX en análisis matemático y geometría diferencial , quedó claro que la noción de diferencial de una función podía extenderse de diversas maneras. En análisis real , es más conveniente tratar directamente con el diferencial como la parte principal del incremento de una función. Esto conduce directamente a la idea de que el diferencial de una función en un punto es un funcional lineal de un incremento.${\displaystyle \Delta x}$Este enfoque permite desarrollar el diferencial (como una aplicación lineal) para una variedad de espacios más sofisticados, dando lugar finalmente a nociones como la derivada de Fréchet o Gateaux . Asimismo, en geometría diferencial , el diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un "desplazamiento infinitesimal"), que lo presenta como una especie de forma única: la derivada exterior de la función. En cálculo no estándar , los diferenciales se consideran infinitesimales, los cuales pueden fundamentarse rigurosamente (véase diferencial (infinitesimal) ).

El diferencial se define en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. ^{[ 7 ]} El diferencial de una función${\displaystyle f(x)}$de una sola variable real${\displaystyle x}$es la función${\displaystyle df}$de dos variables reales independientes${\displaystyle x}$y${\displaystyle \Delta x}$dado por

$${\displaystyle df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.}$$

Uno o ambos argumentos pueden ser suprimidos, es decir, uno puede ver${\displaystyle df(x)}$o simplemente${\displaystyle df}$. Si${\displaystyle y=f(x)}$, el diferencial también puede escribirse como${\displaystyle dy}$. Desde${\displaystyle dx(x,\Delta x)=\Delta x}$, es convencional escribir${\displaystyle dx=\Delta x}$de modo que se cumpla la siguiente igualdad:

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$$

Esta noción de diferencial es ampliamente aplicable cuando se busca una aproximación lineal a una función, en la que el valor del incremento${\displaystyle \Delta x}$es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, si${\displaystyle f}$es una función diferenciable en${\displaystyle x}$, entonces la diferencia en${\displaystyle y}$-valores

$${\displaystyle \Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)}$$

Satisface

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$$

donde está el error${\displaystyle \varepsilon }$en la aproximación satisface${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0}$como${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$En otras palabras, se tiene la identidad aproximada

$${\displaystyle \Delta y\approx dy}$$

en el que el error puede hacerse tan pequeño como se desee en relación con${\displaystyle \Delta x}$al restringir${\displaystyle \Delta x}$ser suficientemente pequeño; es decir, $${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$$ como${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$Por esta razón, el diferencial de una función se conoce como la parte principal (lineal) del incremento de una función: el diferencial es una función lineal del incremento.${\displaystyle \Delta x}$y aunque el error${\displaystyle \varepsilon }$puede ser no lineal, tiende a cero rápidamente a medida que${\displaystyle \Delta x}$tiende a cero.

Siguiendo a Goursat (1904 , I, §15) , para funciones de más de una variable independiente,

$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$

La derivada parcial de y con respecto a cualquiera de las variables x _i es la parte principal del cambio en y resultante de un cambio dx _i en esa variable. Por lo tanto, la derivada parcial es:  

$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$$

que involucra la derivada parcial de y con respecto a x _i . La suma de las diferenciales parciales con respecto a todas las variables independientes es la diferencial total. 

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$$

que es la parte principal del cambio en y resultante de los cambios en las variables independientes x _i . 

Más precisamente, en el contexto del cálculo multivariable, siguiendo a Courant (1937b) , si f es una función diferenciable, entonces por la definición de diferenciabilidad , el incremento

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$$

donde los términos de error ε _i  tienden a cero a medida que los incrementos Δ x _i tienden conjuntamente a cero. El diferencial total se define entonces rigurosamente como

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$$

Dado que, con esta definición, $${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$$ uno tiene $${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

Al igual que en el caso de una variable, se cumple la identidad aproximada.

$${\displaystyle dy\approx \Delta y}$$

en el que el error total puede hacerse tan pequeño como se desee en relación con${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$limitando la atención a incrementos suficientemente pequeños.

Aplicación del diferencial total a la estimación de errores

En la medición, el diferencial total se utiliza para estimar el error.${\displaystyle \Delta f}$de una función${\displaystyle f}$basado en los errores${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$de los parámetros${\displaystyle x,y,\ldots }$Suponiendo que el intervalo sea lo suficientemente corto como para que el cambio sea aproximadamente lineal:

$${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x}$$

y que los parámetros${\displaystyle x,y,\ldots }$son funcionalmente independientes , de modo que se aplica el diferencial total, el cambio en${\displaystyle f}$inducido por cambios simultáneos en todos los parámetros es

$${\displaystyle \Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots .}$$

El derivado${\displaystyle f_{x}}$con respecto al parámetro${\displaystyle x}$proporciona la sensibilidad de la función${\displaystyle f}$a un cambio en${\displaystyle x}$, en particular al error${\displaystyle \Delta x}$Cómo los errores individuales${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$combinar en un límite en${\displaystyle \Delta f}$Depende de lo que se sepa sobre ellos.

Si los errores se conocen solo como límites de magnitud (es decir,${\displaystyle |\Delta x|\leq \delta x}$, etc.) y pueden tener signos arbitrarios, el límite correspondiente del peor caso en${\displaystyle \Delta f}$se obtiene tomando valores absolutos, ya que de lo contrario las contribuciones con signo podrían cancelarse:

$${\displaystyle |\Delta f|\leq |f_{x}|\,\delta x+|f_{y}|\,\delta y+\cdots .}$$

Si en cambio los errores se modelan como variables aleatorias estadísticamente independientes con desviaciones estándar${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\ldots }$, luego por propagación de la varianza la desviación estándar de${\displaystyle \Delta f}$suma en cuadratura:

$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=f_{x}^{2}\,\sigma _{x}^{2}+f_{y}^{2}\,\sigma _{y}^{2}+\cdots .}$$

La primera fórmula es una cota superior determinista, la segunda una estimación típica (de una desviación estándar); ambas coinciden únicamente en el caso trivial de una sola variable.

Del principio del peor caso se derivan las reglas de error habituales de la suma, la multiplicación, etc., por ejemplo:

Dejar${\displaystyle f(a,b)=ab}$Entonces, el error finito puede aproximarse como

$${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.}$$ Evaluación de las derivadas: $${\displaystyle \Delta f=b\Delta a+a\Delta b.}$$ Dividiendo por f , que es a × b

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}.}$$

Es decir, en la multiplicación, el error relativo total es la suma de los errores relativos de los parámetros.

Para ilustrar cómo esto depende de la función considerada, consideremos el caso en que la función es${\displaystyle f(a,b)=a\ln b}$En cambio, entonces se puede calcular que la estimación del error es $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}}$$ con un factor ln b adicional que no se encuentra en el caso de un producto simple. Este factor adicional tiende a hacer que el error sea menor, ya que el denominador b ln b es mayor que un b sin denominador . 

Los diferenciales de orden superior de una función y = f ( x ) de una sola variable x se pueden definir mediante: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$$ y, en general, $${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$$ De manera informal, esto motiva la notación de Leibniz para las derivadas de orden superior. $${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$$ Cuando se permite que la variable independiente x dependa de otras variables, la expresión se vuelve más complicada, ya que debe incluir también diferenciales de orden superior en la propia x . Así, por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$$ y así sucesivamente.

Consideraciones similares se aplican a la definición de diferenciales de orden superior de funciones de varias variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables x e y , entonces $${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$$ dónde${\textstyle {\binom {n}{k}}}$es un coeficiente binomial . En más variables, se cumple una expresión análoga, pero con una expansión multinomial apropiada en lugar de una expansión binomial. ^{[ 9 ]}

Las ecuaciones diferenciales de orden superior en varias variables también se vuelven más complicadas cuando se permite que las variables independientes dependan de otras variables. Por ejemplo, para una función f de x e y que puede depender de variables auxiliares, se tiene $${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$$

Debido a esta torpeza notacional, el uso de diferenciales de orden superior fue duramente criticado por Hadamard (1935) , quien concluyó:

En fin, que significa o que representa la igualdad

$${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$$

A mon avis, rien du tout.

Es decir: finalmente, ¿qué significa o representa la igualdad [...]? En mi opinión, absolutamente nada. A pesar de este escepticismo, los diferenciales de orden superior surgieron como una herramienta importante en el análisis. ^{[ 10 ]}

En estos contextos, la diferencial de orden n de la función f aplicada a un incremento Δ x se define por $${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$$ o una expresión equivalente, como por ejemplo: $${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$$ dónde${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$es una n -ésima diferencia hacia adelante con incremento t Δ x .

Esta definición también tiene sentido si f es una función de varias variables (para simplificar, aquí la tomamos como un argumento vectorial). Entonces, el diferencial n -ésimo definido de esta manera es una función homogénea de grado n en el incremento vectorial Δ x . Además, la serie de Taylor de f en el punto x viene dada por $${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$$ La derivada de Gateaux de orden superior generaliza estas consideraciones a espacios de dimensión infinita.

Varias propiedades del diferencial se derivan de manera directa de las propiedades correspondientes de la derivada, la derivada parcial y la derivada total. Estas incluyen: ^{[ 11 ]}

• Linealidad : Para constantes a y b y funciones diferenciables f y g ,$${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$$
• Regla del producto : Para dos funciones diferenciables f y g ,$${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$$

Una operación d con estas dos propiedades se conoce en álgebra abstracta como derivación . Estas implican la regla de la potencia. $${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$$ Además, se cumplen varias formas de la regla de la cadena , con un nivel creciente de generalidad: ^{[ 12 ]}

• Si y = f ( u ) es una función diferenciable de la variable u y u = g ( x ) es una función diferenciable de x , entonces$${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$$
• Si y = f ( x ₁ , ..., x _n ) y todas las variables x ₁ , ..., x _n dependen de otra variable t , entonces por la regla de la cadena para derivadas parciales , se tiene  $${\displaystyle {\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$$De forma heurística, la regla de la cadena para varias variables puede entenderse dividiendo ambos lados de esta ecuación por la cantidad infinitesimal dt .
• Se cumplen expresiones análogas más generales, en las que las variables intermedias x _i dependen de más de una variable.

Se puede desarrollar una noción consistente de diferencial para una función f  : R ⁿ → R ^m entre dos espacios euclidianos . Sean x ,Δ x ∈ R ⁿ un par de vectores euclidianos . El incremento en la función f es $${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$$ Si existe una matriz A de m × n tal que $${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ en el que el vector ε → 0 cuando Δ x → 0 , entonces f es por definición diferenciable en el punto x . La matriz A se conoce a veces como la matriz jacobiana , y la transformación lineal que asocia al incremento Δ x ∈ R ⁿ el vector A Δ x ∈ R ^m se conoce, en este contexto general, como la diferencial df ( x ) de f en el punto x . Esta es precisamente la derivada de Fréchet , y la misma construcción puede funcionar para una función entre cualquier espacio de Banach .

Otro punto de vista fructífero es definir el diferencial directamente como una especie de derivada direccional : $${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$$ que es el enfoque ya adoptado para definir diferenciales de orden superior (y es la definición más cercana a la establecida por Cauchy). Si t representa el tiempo y x la posición, entonces h representa una velocidad en lugar de un desplazamiento como lo hemos considerado hasta ahora. Esto produce otro refinamiento de la noción de diferencial: que debe ser una función lineal de una velocidad cinemática. El conjunto de todas las velocidades a través de un punto dado del espacio se conoce como el espacio tangente , y por lo tanto df da una función lineal en el espacio tangente: una forma diferencial . Con esta interpretación, el diferencial de f se conoce como la derivada exterior , y tiene una amplia aplicación en geometría diferencial porque la noción de velocidades y el espacio tangente tiene sentido en cualquier variedad diferenciable . Si, además, el valor de salida de f también representa una posición (en un espacio euclidiano), entonces un análisis dimensional confirma que el valor de salida de df debe ser una velocidad. Si se trata el diferencial de esta manera, entonces se le conoce como empuje hacia adelante, ya que "empuja" las velocidades desde un espacio de origen hacia velocidades en un espacio de destino.

Aunque la noción de tener un incremento infinitesimal dx no está bien definida en el análisis matemático moderno , existen diversas técnicas para definir el diferencial infinitesimal de manera que el diferencial de una función pueda manejarse sin entrar en conflicto con la notación de Leibniz . Estas incluyen:

• Definir la diferencial como una forma diferencial , específicamente la derivada exterior de una función. Los incrementos infinitesimales se identifican entonces con vectores en el espacio tangente en un punto. Este enfoque es popular en geometría diferencial y campos afines, porque se generaliza fácilmente a aplicaciones entre variedades diferenciables .
• Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica . ^{[ 13 ]}
• Diferenciales en modelos suaves de la teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que se utilizan ideas de la teoría de topos para ocultar los mecanismos mediante los cuales se introducen los infinitesimales nilpotentes. ^{[ 14 ]}
• Los diferenciales como infinitesimales en sistemas de números hiperreales , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque del análisis no estándar iniciado por Abraham Robinson . ^{[ 15 ]}

Los diferenciales pueden utilizarse eficazmente en el análisis numérico para estudiar la propagación de errores experimentales en un cálculo y, por lo tanto, la estabilidad numérica general de un problema ( Courant 1937a ) . Supongamos que la variable x representa el resultado de un experimento e y es el resultado de un cálculo numérico aplicado a x . La pregunta es en qué medida los errores en la medición de x influyen en el resultado del cálculo de y . Si se conoce x con una precisión de Δx respecto a su valor real, entonces el teorema de Taylor proporciona la siguiente estimación del error Δy en el cálculo de y : $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$$ donde ξ = x + θ Δ x para algún 0 < θ < 1 . Si Δ x es pequeño, entonces el término de segundo orden es despreciable, de modo que Δ y se aproxima bien, a efectos prácticos, mediante dy = f' ( x ) Δ x .

El diferencial suele ser útil para reescribir una ecuación diferencial.$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$$ en la forma $${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$$ en particular cuando se quiere separar las variables .

• Notación para la diferenciación

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