El analista

El analista (subtitulado Un discurso dirigido a un matemático infiel: en el que se examina si el objeto, los principios y las inferencias del análisis moderno se conciben de manera más clara o se deducen de manera más evidente que los misterios religiosos y los puntos de fe ) es un libro de George Berkeley . Fue publicado por primera vez en 1734, primero por J. Tonson (Londres), luego por S. Fuller (Dublín). Se cree que el "matemático infiel" fue Edmond Halley , aunque otros han especulado que se refería a Sir Isaac Newton . ^[1]

El libro contiene un ataque directo a los fundamentos del cálculo , específicamente a la noción de fluxiones de Isaac Newton y a la noción de cambio infinitesimal de Leibniz .

Desde sus primeros días como escritor, Berkeley había tomado su pluma satírica para atacar a los entonces llamados " librepensadores " ( secularistas , escépticos , agnósticos , ateos , etc.; en resumen, cualquiera que dudara de las verdades de la religión cristiana recibida o pidiera una disminución de la religión en la vida pública). ^[2] En 1732, en la última entrega de este esfuerzo, Berkeley publicó su Alciphron , una serie de diálogos dirigidos a diferentes tipos de "librepensadores". Uno de los arquetipos a los que se dirigió Berkeley fue el científico secular, que descartaba los misterios cristianos como supersticiones innecesarias y declaraba su confianza en la certeza de la razón humana y la ciencia. Contra sus argumentos, Berkeley montó una sutil defensa de la validez y utilidad de estos elementos de la fe cristiana.

Alciphron fue ampliamente leído y causó cierto revuelo. Pero fue un comentario casual en el que el astrónomo real "librepensador" Sir Edmund Halley se burlaba de los argumentos de Berkeley lo que impulsó a Berkeley a tomar la pluma de nuevo y probar un nuevo rumbo. El resultado fue The Analyst , concebido como una sátira que atacaba los fundamentos de las matemáticas con el mismo vigor y estilo con el que los "librepensadores" atacaban rutinariamente las verdades religiosas.

Berkeley intentó desmontar los fundamentos del cálculo, afirmó haber descubierto numerosas lagunas en las pruebas, atacó el uso de los infinitesimales , la diagonal del cuadrado unitario , la existencia misma de los números, etc. El objetivo general no era tanto burlarse de las matemáticas o de los matemáticos, sino más bien demostrar que los matemáticos, como los cristianos, se basaban en " misterios " incomprensibles para fundamentar su razonamiento. Además, la existencia de estas "supersticiones" no era fatal para el razonamiento matemático, de hecho era una ayuda. Lo mismo sucedió con los fieles cristianos y sus "misterios". Berkeley concluyó que la certeza de las matemáticas no es mayor que la certeza de la religión.

El analista fue un ataque directo a los fundamentos del cálculo , específicamente a la noción de fluxiones de Newton y a la noción de cambio infinitesimal de Leibniz . En la sección 16, Berkeley critica

...la manera falaz de proceder hasta cierto punto suponiendo un incremento y luego cambiar de inmediato su suposición a la de que no hay incremento... Ya que si esta segunda suposición se hubiera hecho antes de la división común por o , todo habría desaparecido de inmediato y usted no habría obtenido nada con su suposición. Mientras que con este artificio de dividir primero y luego cambiar su suposición, usted conserva 1 y nx ^n-1 . Pero, a pesar de todo este esfuerzo para ocultarlo, la falacia sigue siendo la misma. ^[3]

Es un pasaje citado con frecuencia, particularmente cuando escribió: ^{[4] [5]}

¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son estos mismos incrementos evanescentes? No son cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los fantasmas de cantidades desaparecidas? ^[6]

Berkeley no cuestionó los resultados del cálculo; reconoció que eran ciertos. El meollo de su crítica era que el cálculo no era más riguroso desde el punto de vista lógico que la religión. En cambio, cuestionó si los matemáticos "se someten a la autoridad, toman las cosas como algo que se les da confianza" ^[7] , tal como lo hacían los seguidores de los principios religiosos. Según Burton, Berkeley introdujo una ingeniosa teoría de compensación de errores que pretendía explicar la exactitud de los resultados del cálculo. Berkeley sostuvo que los practicantes del cálculo introdujeron varios errores que se anulaban, dejando la respuesta correcta. En sus propias palabras, "en virtud de un doble error se llega, aunque no a la ciencia, a la verdad". ^[8]

La idea de que Newton era el destinatario previsto del discurso se pone en duda por un pasaje que aparece hacia el final del libro: "Pregunta 58: ¿Es realmente un efecto del pensamiento que los mismos hombres admiren al gran autor por sus fluxiones y lo ridiculicen por su religión?" ^[9]

En este punto, Berkeley ridiculiza a quienes celebran a Newton (el inventor de las "fluxiones", que son aproximadamente equivalentes a las diferenciales de versiones posteriores del cálculo diferencial) como un genio, al tiempo que se burla de su conocida religiosidad. Dado que aquí Berkeley llama explícitamente la atención sobre la fe religiosa de Newton, eso parece indicar que no pretendía que sus lectores identificaran al "matemático infiel (es decir, carente de fe)" con Newton.

La historiadora de las matemáticas Judith Grabiner comenta: «Las críticas de Berkeley al rigor del cálculo eran ingeniosas, poco amables y, con respecto a las prácticas matemáticas que criticaba, esencialmente correctas». ^[10] Si bien sus críticas a las prácticas matemáticas eran acertadas, su ensayo ha sido criticado por motivos lógicos y filosóficos.

Por ejemplo, David Sherry sostiene que la crítica de Berkeley al cálculo infinitesimal consiste en una crítica lógica y una crítica metafísica. La crítica lógica es la de una fallacia suppositionis , que significa ganar puntos en un argumento por medio de una suposición y, manteniendo esos puntos, concluir el argumento con una suposición contradictoria. La crítica metafísica es un desafío a la existencia misma de conceptos como fluxiones, momentos e infinitesimales, y tiene sus raíces en la filosofía empirista de Berkeley que no tolera ninguna expresión sin un referente. ^[11] Andersen (2011) mostró que la doctrina de Berkeley sobre la compensación de errores contiene una circularidad lógica. Es decir, la determinación de Berkeley de la derivada de la función cuadrática se basa en la determinación de Apolonio de la tangente de la parábola. ^[12]

Dos años después de esta publicación, Thomas Bayes publicó anónimamente "Introducción a la doctrina de las fluxiones y una defensa de los matemáticos contra las objeciones del autor de El analista" (1736), en la que defendía el fundamento lógico del cálculo de Isaac Newton contra las críticas esbozadas en El analista . El Tratado de las fluxiones en dos volúmenes de Colin Maclaurin publicado en 1742 también comenzó como una respuesta a los ataques de Berkeley, con la intención de demostrar que el cálculo de Newton era riguroso al reducirlo a los métodos de la geometría griega . ^[10]

A pesar de estos intentos, el cálculo continuó desarrollándose utilizando métodos no rigurosos hasta alrededor de 1830, cuando Augustin Cauchy , y más tarde Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , redefinieron la derivada y la integral utilizando una definición rigurosa del concepto de límite . La idea de utilizar límites como base para el cálculo había sido sugerida por d'Alembert , pero la definición de d'Alembert no era rigurosa según los estándares modernos. ^[13] El concepto de límites ya había aparecido en la obra de Newton, ^[14] pero no fue formulado con la suficiente claridad como para resistir las críticas de Berkeley. ^[15]

En 1966, Abraham Robinson introdujo el análisis no estándar , que proporcionó una base rigurosa para trabajar con cantidades infinitamente pequeñas. Esto proporcionó otra forma de poner el cálculo sobre una base matemáticamente rigurosa, la forma en que se hacía antes de que se hubiera desarrollado por completo la definición (ε, δ) de límite .

Hacia el final de El analista, Berkeley aborda las posibles justificaciones que los matemáticos pueden proponer para los fundamentos del cálculo. En respuesta a la idea de que las fluxiones podrían definirse utilizando proporciones últimas de cantidades que se desvanecen, ^[16] Berkeley escribió:

Es preciso reconocer que Newton utilizó las fluxiones, como el andamio de un edificio, como cosas que hay que dejar de lado o desechar tan pronto como se encontraron líneas finitas proporcionales a ellas. Pero estos exponentes finitos se encuentran con la ayuda de las fluxiones. Por lo tanto, todo lo que se obtiene con tales exponentes y proporciones debe atribuirse a las fluxiones, que, por lo tanto, deben entenderse previamente. ¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son estos mismos incrementos evanescentes? No son cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los fantasmas de cantidades desaparecidas? ^[6]

Edwards describe esto como el punto más memorable del libro. ^[15] Katz y Sherry sostienen que la expresión pretendía referirse tanto a los infinitesimales como a la teoría de fluxiones de Newton. ^[17]

Hoy en día, la frase "fantasmas de cantidades que se han ido" también se utiliza cuando se habla de los ataques de Berkeley a otros posibles fundamentos del cálculo. En particular, se utiliza cuando se habla de los infinitesimales , ^[18] pero también se utiliza cuando se habla de los diferenciales , ^[19] y de la adecuación . ^[20]

El texto completo de El analista se puede leer en Wikisource , así como en el sitio web de David R. Wilkins, ^[21] que incluye algunos comentarios y enlaces a respuestas de los contemporáneos de Berkeley.

El Analista también se reproduce, con comentarios, en obras recientes:

• De Kant a Hilbert, de William Ewald : un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas . ^[22]

Ewald concluye que las objeciones de Berkeley al cálculo de su época fueron, en su mayoría, bien aceptadas en su momento.

• Resumen de DM Jesseph en "Landmark Writings in Western Mathematics" de 2005. ^[23]

• Kirsti, Andersen (2011), "Uno de los argumentos de Berkeley sobre la compensación de errores en el cálculo.", Historia Mathematica , 38 (2): 219–318, doi : 10.1016/j.hm.2010.07.001
• Arkeryd, Leif (diciembre de 2005), "Análisis no estándar", The American Mathematical Monthly , 112 (10): 926–928, doi :10.2307/30037635, JSTOR  30037635
• Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012), "Diez conceptos erróneos de la historia del análisis y su desacreditación", Foundations of Science , 18 : 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi :10.1007/s10699-012-9285-8, S2CID  254508527
• Boyer, C ; Merzbach, U (1991), Una historia de las matemáticas (2 ed.)
• Burton, David (1997), La historia de las matemáticas: una introducción , McGraw-Hill
• Edwards, CH (1994), El desarrollo histórico del cálculo , Springer
• Grabiner, Judith (mayo de 1997), "¿El cálculo de Newton fue un callejón sin salida? La influencia continental del Tratado de fluxiones de Maclaurin", The American Mathematical Monthly , 104 (5): 393–410, doi :10.2307/2974733, JSTOR  2974733
• Grabiner, Judith V. (diciembre de 2004), "Newton, Maclaurin y la autoridad de las matemáticas", The American Mathematical Monthly , 111 (10): 841–852, doi :10.2307/4145093, JSTOR  4145093
• Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012), "Los infinitesimales de Leibniz: su ficcionalidad, sus implementaciones modernas y sus enemigos desde Berkeley hasta Russell y más allá", Erkenntnis , 78 (3): 571–625, arXiv : 1205.0174 , doi :10.1007/s10670-012-9370-y, S2CID  254471766
• Kleiner, I.; Movshovitz-Hadar, N. (diciembre de 1994), "El papel de las paradojas en la evolución de las matemáticas", The American Mathematical Monthly , 101 (10): 963–974, doi :10.2307/2975163, JSTOR  2975163
• Leader, Solomon (mayo de 1986), "¿Qué es una diferencial? Una nueva respuesta a partir de la integral generalizada de Riemann", The American Mathematical Monthly , 93 (5): 348–356, doi :10.2307/2323591, JSTOR  2323591
• Pourciau, Bruce (2001), "Newton y la noción de límite", Historia Math. , 28 (1): 393–30, doi : 10.1006/hmat.2000.2301
• Robert, Alain (1988), Análisis no estándar , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-91703-8
• Sherry, D. (1987), "La estela del analista de Berkeley: ¿Rigor mathematicae ?", Estudios en filosofía histórica y ciencia , 18 (4): 455–480, doi :10.1016/0039-3681(87)90003-3
• Wren, FL; Garrett, JA (mayo de 1933), "El desarrollo de los conceptos fundamentales del análisis infinitesimal", The American Mathematical Monthly , 40 (5): 269–281, doi :10.2307/2302202, JSTOR  2302202

• Obras relacionadas con El analista: un discurso dirigido a un matemático infiel en Wikisource