Holomorfía de dimensión infinita

En matemáticas , la holomorfía de dimensión infinita es una rama del análisis funcional . Se ocupa de generalizaciones del concepto de función holomorfa a funciones definidas y que toman valores en espacios de Banach complejos (o espacios de Fréchet , más generalmente), típicamente de dimensión infinita. Es un aspecto del análisis funcional no lineal .

Un primer paso para extender la teoría de las funciones holomorfas más allá de una dimensión compleja es considerar las llamadas funciones holomorfas con valores vectoriales , que se definen en el plano complejo C , pero toman valores en un espacio de Banach. Estas funciones son importantes, por ejemplo, para construir el cálculo funcional holomorfo para operadores lineales acotados .

Definición. Una función f  : U → X , donde U ⊂ C es un subconjunto abierto y X es un espacio de Banach complejo, se denomina holomorfa si es diferenciable en el sentido complejo; es decir, para cada punto z ∈ U existe el siguiente límite :

${\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.}$

Se puede definir la integral de línea de una función holomorfa vectorial f  : U → X a lo largo de una curva rectificable γ  : [ a , b ] → U de la misma manera que para las funciones holomorfas complejas, como el límite de sumas de la forma

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))}$

donde a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b es una subdivisión del intervalo [ a , b ], a medida que las longitudes de los intervalos de subdivisión se aproximan a cero.

Es una comprobación rápida que el teorema integral de Cauchy también se cumple para funciones holomorfas con valores vectoriales. En efecto, si f  : U → X es una función de este tipo y T  : X → C un funcional lineal acotado, se puede demostrar que

${\displaystyle T\left(\int _{\gamma }f(z)\,dz\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,dz.}$

Además, la composición T o f  : U → C es una función holomorfa de valores complejos. Por lo tanto, para γ una curva cerrada simple cuyo interior está contenido en U , la integral de la derecha es cero, por el teorema integral clásico de Cauchy. Entonces, como T es arbitrario, se deduce del teorema de Hahn-Banach que

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

lo cual demuestra el teorema integral de Cauchy en el caso vectorial.

Utilizando esta poderosa herramienta se puede demostrar la fórmula integral de Cauchy y, al igual que en el caso clásico, que cualquier función holomorfa con valores vectoriales es analítica .

Un criterio útil para que una función f  : U → X sea holomorfa es que T o f  : U → C sea una función holomorfa de valores complejos para todo funcional lineal continuo T  : X → C. Dicha f es débilmente holomorfa. Se puede demostrar que una función definida en un subconjunto abierto del plano complejo con valores en un espacio de Fréchet es holomorfa si, y solo si, es débilmente holomorfa.

De forma más general, dados dos espacios de Banach complejos X e Y y un conjunto abierto U ⊂ X , se dice que una función f  : U → Y es holomorfa si existe la derivada de Fréchet de f en cada punto de U. Se puede demostrar que, en este contexto más general, sigue siendo cierto que una función holomorfa es analítica, es decir, puede expandirse localmente en una serie de potencias . Sin embargo, ya no es cierto que si una función está definida y es holomorfa en una bola, su serie de potencias alrededor del centro de la bola converge en toda la bola; por ejemplo, existen funciones holomorfas definidas en todo el espacio que tienen un radio de convergencia finito.

En general, dados dos espacios vectoriales topológicos complejos X e Y y un conjunto abierto U ⊂ X , existen diversas maneras de definir la holomorfía de una función f  : U → Y. A diferencia del caso de dimensión finita, cuando X e Y son de dimensión infinita, las propiedades de las funciones holomorfas pueden depender de la definición elegida. Para limitar el número de posibilidades que debemos considerar, solo analizaremos la holomorfía en el caso de que X e Y sean localmente convexos .

Esta sección presenta una lista de definiciones, desde la noción más débil hasta la más fuerte. Concluye con un análisis de algunos teoremas que relacionan estas definiciones cuando los espacios X e Y satisfacen ciertas restricciones adicionales.

• Richard V. Kadison , John R. Ringrose, Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores , Vol. 1: Teoría elemental. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2(Véase la sección 3.3.)
• Soo Bong Chae, Holomorfía y cálculo en espacios normados , Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8.
• ^ Lawrence A. Harris, Teoremas de punto fijo para funciones holomorfas de dimensión infinita (sin fecha).