Continuidad absoluta

En cálculo y análisis real , la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con continuidad absoluta puede formularse en términos de la integración de Lebesgue . Para funciones de valores reales en la línea real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas . Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada de Radon-Nikodym , o densidad , de una medida. Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la línea real:

absolutamente continua ⊆ uniformemente continua continua${\estilo de visualización =}$

y, durante un intervalo compacto,

continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continua ⊆ absolutamente continua ⊆ variación acotada ⊆ diferenciable casi en todas partes .

Una función continua no es absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; por ejemplo, tan( x ) sobre [0, π /2) , x ² sobre toda la recta real y sin(1/ x ) sobre (0, 1]. Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua ni siquiera en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable casi en todas partes" (como la función de Weierstrass , que no es diferenciable en ninguna parte). O puede ser diferenciable casi en todas partes y su derivada f  ′ puede ser integrable según Lebesgue , pero la integral de f  ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia f en un intervalo). Esto sucede, por ejemplo, con la función de Cantor .

Sea un intervalo en la recta real . Una función es absolutamente continua en si para cada número positivo , existe un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de con satisface ^[1]${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{k}<y_{k}\en I}$

${\displaystyle \suma _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum_{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

La colección de todas las funciones absolutamente continuas en se denota . ${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$

Las siguientes condiciones para una función de valor real f en un intervalo compacto [ a , b ] son ​​equivalentes: ^[2]

1. f es absolutamente continua;
2. f tiene una derivada f  ′ casi en todas partes , la derivada es integrable a nivel de Lebesgue, y para todo x en [ a , b ];$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$
3. existe una función integrable de Lebesgue g en [ a , b ] tal que para todo x en [ a , b ].$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$

Si se satisfacen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente cualquier función g como en la condición 3 satisface g = f  ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^[3]

Para una definición equivalente en términos de medidas, véase la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

• La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones están definidas en un intervalo cerrado acotado, entonces su producto también es absolutamente continuo. ^[4]
• Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado acotado y no es cero en ningún punto, entonces su recíproco es absolutamente continuo. ^[5]
• Toda función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función Lipschitz-continua (globalmente) es absolutamente continua. ^[6]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ]. ^[7]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces puede escribirse como la diferencia de dos funciones absolutamente continuas monótonas no decrecientes en [ a , b ].
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad N de Luzin (es decir, para cualquier tal que , se cumple que , donde representa la medida de Lebesgue en R ).${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$${\displaystyle \lambda (N)=0}$${\displaystyle \lambda(f(N))=0}$${\estilo de visualización \lambda}$
• f : I → R es absolutamente continua si y sólo si es continua, tiene variación acotada y tiene la propiedad N de Luzin . Esta afirmación también se conoce como teorema de Banach-Zareckiǐ. ^[8]
• Si f : I → R es absolutamente continua y g : R → R es globalmente Lipschitz-continua , entonces la composición g ∘ f es absolutamente continua. Inversamente, para cada función g que no sea globalmente Lipschitz-continua existe una función absolutamente continua f tal que g ∘ f no sea absolutamente continua. ^[9]

Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:

• La función de Cantor en [0, 1] (es de variación acotada pero no absolutamente continua);
• La función: en un intervalo finito que contiene el origen.$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$

Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no continuas en el sentido α-Hölder:

• La función f ( x ) =  x ^β en [0,  c ], para cualquier 0 < β < α < 1

Las siguientes funciones son absolutamente continuas y continuas en el sentido de α-Hölder, pero no continuas en el sentido de Lipschitz :

• La función f ( x ) =  √ x en [0,  c ], para α  ≤ 1/2.

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea I un intervalo en la recta real R . Una función f : I → X es absolutamente continua en I si para cada número positivo , existe un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares [ x _k , y _k ] de I satisface: ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

entonces:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC( I ; X ).

Una generalización adicional es el espacio AC ^p ( I ; X ) de curvas f : I → X tales que: ^[10]

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I}$

para algún m en el espacio L ^p L ^p (I).

• Toda función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función Lipschitz-continua es absolutamente continua.
• Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), la derivada métrica de f existe para λ - casi todo el tiempo en I , y la derivada métrica es la más pequeña m ∈ L ^p ( I ; R ) tal que: ^[11]$${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.}$$

Una medida sobre subconjuntos de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si para cada conjunto medible implica . Equivalentemente, implica . Esta condición se escribe como Decimos que está dominada por${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \lambda (A)=0}$${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu (A)>0}$${\displaystyle \lambda (A)>0}$${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda .}$

En la mayoría de las aplicaciones, si simplemente se dice que una medida en la línea real es absolutamente continua (sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua), entonces se quiere decir continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

El mismo principio se aplica a las medidas de los subconjuntos de Borel.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

Las siguientes condiciones sobre una medida finita en los subconjuntos de Borel de la línea real son equivalentes: ^[12]${\displaystyle \mu }$

1. ${\displaystyle \mu }$es absolutamente continua;
2. Para cada número positivo existe un número positivo tal que para todos los conjuntos de Borel de Lebesgue miden menos que${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta ;}$
3. Existe una función integrable de Lebesgue en la recta real tal que: para todos los subconjuntos de Borel de la recta real.${\displaystyle g}$$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$${\displaystyle A}$

Para una definición equivalente en términos de funciones, véase la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual a casi en todas partes. Tal función se llama derivada de Radon-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu .}$

La equivalencia entre (1), (2) y (3) se cumple también para todos${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Así, las medidas absolutamente continuas de son precisamente aquellas que tienen densidades; como caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente aquellas que tienen funciones de densidad de probabilidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Si y son dos medidas en el mismo espacio medible se dice que son${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle \mu }$absolutamente continua con respecto a${\displaystyle \nu }$sipara cada conjuntopara el cual^[13]Esto se escribe como "". Es decir: ${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu (A)=0.}$${\displaystyle \mu \ll \nu }$$${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

¿Cuándo entonces se dice que es?${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$${\displaystyle \nu }$dominante ${\displaystyle \mu .}$

La continuidad absoluta de las medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es un preorden en lugar de un orden parcial . En cambio, si y se dice que las medidas y son equivalentes . Por lo tanto, la continuidad absoluta induce un ordenamiento parcial de dichas clases de equivalencia . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

Si es una medida con signo o compleja , se dice que es absolutamente continua con respecto a si su variación satisface de manera equivalente, si todo conjunto para el cual es - nulo . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle |\mu |\ll \nu ;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu (A)=0}$${\displaystyle \mu }$

El teorema de Radon-Nikodym ^[14] establece que si es absolutamente continua con respecto a y ambas medidas son σ-finitas , entonces tiene una densidad, o "derivada de Radon-Nikodym", con respecto a lo que significa que existe una función -medible que toma valores en denotado por tal que para cualquier conjunto -medible tenemos: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu ,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu ,}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,+\infty ),}$${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

A través del teorema de descomposición de Lebesgue ^[15] , cada medida σ-finita puede descomponerse en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular con respecto a otra medida σ-finita. Véase la medida singular para ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.

Una medida finita μ en los subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función puntual:

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

es una función real absolutamente continua. En términos más generales, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y solo si su derivada distribucional es una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Si se cumple la continuidad absoluta, entonces la derivada de Radon-Nikodym de μ es igual casi en todas partes a la derivada de F . ^[16]

De manera más general, se supone que la medida μ es localmente finita (en lugar de finita) y F ( x ) se define como μ ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 , y − μ (( x ,0]) para x < 0 . En este caso μ es la medida de Lebesgue–Stieltjes generada por F . ^[17] La ​​relación entre las dos nociones de continuidad absoluta todavía se mantiene. ^[18]

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Bruckner, AM; Bruckner, JB; Thomson, BS (1997), Análisis real , Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
• Fichtenholz, Grigorii (1923). "Continúa la nota sobre las funciones absolutas". Matematicheskii Sbornik . 31 (2): 286–295.
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• Royden, HL (1988), Análisis real (tercera edición), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

• Continuidad absoluta en Enciclopedia de Matemáticas
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl