Medida firmada

En matemáticas , la medida con signo es una generalización del concepto de medida (positiva) al permitir que la función del conjunto tome valores negativos , es decir, adquiera signo .

Existen dos conceptos ligeramente diferentes de medida con signo, según se permita o no que adopte valores infinitos. Por lo general, las medidas con signo solo pueden adoptar valores reales finitos , mientras que algunos libros de texto permiten que adopten valores infinitos. Para evitar confusiones, en este artículo se denominarán a estos dos casos "medidas con signo finitas" y "medidas con signo extendidas".

Dado un espacio medible (es decir, un conjunto con una σ-álgebra sobre él), una medida con signo extendida es una función de conjunto tal que y es σ-aditiva – es decir, satisface la igualdad para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos en La serie de la derecha debe converger absolutamente cuando el valor del lado izquierdo es finito. Una consecuencia es que una medida con signo extendida puede tomar o como valor, pero no ambos. La expresión no está definida ^[1] y debe evitarse. ${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$ $${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\estilo de visualización \mu}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _ {n=1}^{\infty }A_ {n}\right)=\sum _ {n=1}^{\infty} \mu (A_ {n}) }$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \Sigma .}$${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización\infty -\infty}$

Una medida con signo finito (también conocida como medida real ) se define de la misma manera, excepto que solo se le permite tomar valores reales. Es decir, no puede tomar o${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización -\infty .}$

Las medidas finitas con signo forman un espacio vectorial real , mientras que las medidas extendidas con signo no lo hacen porque no están cerradas bajo la adición. Por otra parte, las medidas son medidas extendidas con signo, pero en general no son medidas finitas con signo.

Consideremos una medida no negativa en el espacio ( X , Σ) y una función medible f : X → R tal que ${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Entonces, una medida con signo finito viene dada por

${\displaystyle \mu(A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu(x)}$

para todo A en Σ.

Esta medida con signo solo acepta valores finitos. Para permitir que acepte +∞ como valor, es necesario reemplazar el supuesto de que f es absolutamente integrable por la condición más relajada

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

donde f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) es la parte negativa de f .

Lo que sigue son dos resultados que implicarán que una medida con signo extendida es la diferencia de dos medidas no negativas, y una medida con signo finita es la diferencia de dos medidas no negativas finitas.

El teorema de descomposición de Hahn establece que, dada una medida con signo μ , existen dos conjuntos medibles P y N tales que:

1. P ∪ N = X y P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ P — en otras palabras, P es un conjunto positivo ;
3. μ ( E ) ≤ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ N — es decir, N es un conjunto negativo.

Además, esta descomposición es única hasta sumar o restar conjuntos μ - nulos de P y N.

Consideremos entonces dos medidas no negativas μ ⁺ y μ ⁻ definidas por

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

y

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

para todos los conjuntos mensurables E , es decir, E en Σ.

Se puede comprobar que tanto μ ⁺ como μ ⁻ son medidas no negativas, en las que una toma solo valores finitos, y se denominan parte positiva y parte negativa de μ , respectivamente. Se tiene que μ = μ ⁺ − μ ⁻ . La medida | μ | = μ ⁺ + μ ⁻ se denomina variación de μ , y su valor máximo posible, || μ || = | μ |( X ), se denomina variación total de  μ .

Esta consecuencia del teorema de descomposición de Hahn se denomina descomposición de Jordan . Las medidas μ ⁺ , μ ⁻ y | μ | son independientes de la elección de P y N en el teorema de descomposición de Hahn.

La suma de dos medidas finitas con signo es una medida finita con signo, como lo es el producto de una medida finita con signo por un número real, es decir, son cerradas bajo combinaciones lineales . De ello se deduce que el conjunto de medidas finitas con signo en un espacio medible ( X , Σ) es un espacio vectorial real ; esto contrasta con las medidas positivas, que solo son cerradas bajo combinaciones cónicas y, por lo tanto, forman un cono convexo pero no un espacio vectorial. Además, la variación total define una norma con respecto a la cual el espacio de medidas finitas con signo se convierte en un espacio de Banach . Este espacio tiene aún más estructura, ya que se puede demostrar que es una red de Banach completa de Dedekind y, al hacerlo, se puede demostrar que el teorema de Radon-Nikodym es un caso especial del teorema espectral de Freudenthal .

Si X es un espacio separable compacto, entonces el espacio de medidas de Baire con signo finito es el dual del espacio de Banach real de todas las funciones reales continuas en X , por el teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani .

• Desplazamiento angular
• Medida compleja
• Medida espectral
• Medida vectorial
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani
• Longitud de arco con signo
• Área firmada
• Distancia firmada
• Volumen firmado
• Variación total

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