Longitud de arco

En la formulación más básica de la longitud de arco para una curva paramétrica (pensada como la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano con posición${\displaystyle (x(t),y(t))}$en ese momento${\displaystyle t}$) la longitud del arco se obtiene integrando la velocidad (la magnitud del vector velocidad) sobre la curva con respecto al tiempo. Por lo tanto, la longitud de una curva continuamente diferenciable en el plano euclidiano , parametrizada como${\displaystyle (x(t),y(t))}$, para${\displaystyle a\leq t\leq b}$, se da como la integral ^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt.}$$ Aquí, el integrando (la raíz cuadrada dentro de la integral) es la velocidad de la partícula. Esta integral definitoria de la longitud de arco no siempre tiene una expresión analítica , y en su lugar se puede utilizar la integración numérica para obtener valores numéricos de la longitud de arco.

De forma más general, para curvas que no necesariamente están en el plano, sea${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$La función debe ser continuamente diferenciable (es decir, su derivada es una función continua ). La longitud de la curva viene dada por la fórmula. $${\displaystyle L(f)=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt}$$ dónde${\displaystyle |f'(t)|}$es la norma euclidiana del vector tangente${\displaystyle f'(t)}$a la curva.

Una curva puede parametrizarse de infinitas maneras. La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definirla.

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos de la curva, en orden consecutivo, usando segmentos de línea (rectos) para crear una cadena poligonal . Se puede calcular la longitud de cada segmento lineal usando el teorema de Pitágoras y sumar estas longitudes para obtener la longitud total de la cadena;Esa aproximación se conoce como la distancia cordal (acumulativa) . ^{[ 2 ]}

Si se añaden puntos a lo largo de la curva, la distancia de la cuerda no disminuirá. Puede aumentar hasta un límite finito, en el límite, a medida que la longitud del segmento más largo de la cadena tiende a cero, o puede aumentar sin límite. En el caso de que la longitud de la cadena poligonal refinada aumente hasta un límite finito, este límite es la longitud de la curva. Para una curva suave de longitud finita, esta longitud límite siempre es igual a la longitud obtenida por integración, pero esta definición de longitud basada en límites también se aplica a ciertas curvas no suaves. Una curva con la propiedad de que cada arco entre dos puntos de la curva tiene una longitud finita, medida de esta manera, se denomina curva rectificable , incluso si la curva completa tiene una longitud infinita.

Se puede definir una longitud de arco con signo para transmitir una sensación de orientación o "dirección" con respecto a un punto de referencia tomado como origen en la curva (véase también: orientación de la curva y distancia con signo ). ^{[ 3 ]}

En la mayoría de los casos, incluso para curvas simples, no existen soluciones analíticas para la longitud de arco y es necesaria la integración numérica . Debido a la diferenciación en la fórmula de la longitud de arco, la serie de Taylor del integrando pierde un orden de precisión, en relación con el arco mismo, con la consiguiente pérdida de precisión. Sin embargo, para funciones infinitamente suaves, la integración numérica de la integral de la longitud de arco suele ser muy eficiente. Por ejemplo, consideremos el problema de hallar la longitud de un cuarto del círculo unitario mediante la integración numérica de la integral de la longitud de arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ El intervalo${\displaystyle x\in \left[-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$corresponde a un cuarto del círculo. Dado que${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$y${\textstyle 1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}},}$La longitud de un cuarto del círculo unitario es

$${\displaystyle \int _{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

Dado que el integrando es infinitamente suave sobre el dominio de interés con una serie de Taylor convergente, la estimación de la regla de Gauss-Kronrod de 15 puntos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$$

por1,3 × 10 ⁻¹¹ y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de1.570 796 326 794 727 difiere de la longitud real en solo1,7 × 10 ⁻¹³ . Esto significa que es posible evaluar esta integral con una precisión casi de máquina con solo 16 evaluaciones del integrando.

Dejar${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$ser un mapeo de superficie y dejar${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$sea ​​una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco es${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ Para evaluar la derivada se requiere la regla de la cadena para campos vectoriales:

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

La norma al cuadrado de este vector es

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(dónde${\displaystyle g_{ij}}$es el primer coeficiente de forma fundamental ), por lo que el integrando de la integral de longitud de arco se puede escribir como${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$(dónde${\displaystyle u^{1}=u}$y${\displaystyle u^{2}=v}$).

Dejar${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$Sea una curva expresada en coordenadas polares. El mapeo que transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

El integrando de la integral de longitud de arco es ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$ Entonces, el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

Por lo tanto, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es: $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

La segunda expresión corresponde a un gráfico polar.${\displaystyle r=r(\theta )}$parametrizado por${\displaystyle t=\theta }$.

Ahora dejemos${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$sea ​​una curva expresada en coordenadas esféricas donde${\displaystyle \theta }$es el ángulo polar medido desde el polo positivo${\displaystyle x}$eje y${\displaystyle \phi }$es el ángulo azimutal. El mapeo que transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es $${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

Usando nuevamente la regla de la cadena se demuestra que${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ Todos los productos de punto${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$dónde${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$Las diferencias son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es $${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Un cálculo muy similar muestra que la longitud de arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Las longitudes de arco se denotan con la letra s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es spatium .

En las siguientes líneas,${\displaystyle r}$representa el radio de un círculo ,${\displaystyle d}$es su diámetro ,${\displaystyle C}$es su circunferencia ,${\displaystyle s}$es la longitud de un arco de círculo, y${\displaystyle \theta }$es el ángulo que subtiende el arco en el centro del círculo. Las distancias${\displaystyle r,d,C,}$y${\displaystyle s}$se expresan en las mismas unidades.

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$que es lo mismo que${\displaystyle C=\pi d.}$ Esta ecuación es una definición de${\displaystyle \pi .}$
• Si el arco es un semicírculo , entonces${\displaystyle s=\pi r.}$
• Para un arco circular arbitrario:
  • Si${\displaystyle \theta }$entonces está en radianes${\displaystyle s=r\theta .}$Esta es una definición de radián.
  • Si${\displaystyle \theta }$está en grados , entonces${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$que es lo mismo que${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • Si${\displaystyle \theta }$está en grados (100 grados, o grados, o gradianes son un ángulo recto ), entonces${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$que es lo mismo que${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • Si${\displaystyle \theta }$está en turnos (un turno es una rotación completa, o 360°, o 400 grados, o${\displaystyle 2\pi }$radianes), entonces${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$.

• Espiral de Arquímedes §  Longitud del arco
• Cicloide §  Longitud de arco
• Elipse §  Longitud de arco
• Hélice §  Longitud de arco
• Parábola §  Longitud de arco
• Seno y coseno §  Longitud de arco
• Onda triangular §  Longitud de arco

Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los más grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes fue pionero en un método para hallar el área bajo una curva con su " método de agotamiento ", pocos creían que las curvas pudieran tener longitudes definidas, como las líneas rectas. El primer avance en este campo, como suele ocurrir en el cálculo , se logró mediante la aproximación . Se empezó a trazar polígonos dentro de las curvas y a calcular la longitud de sus lados para obtener una medida relativamente precisa. Al usar más segmentos y disminuir la longitud de cada uno, se pudo obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al trazar un polígono de muchos lados en un círculo, se pudieron hallar valores aproximados de π . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

En el siglo XVII, el método de agotamiento condujo a la rectificación, mediante métodos geométricos, de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen que fue John Wallis en la década de 1650), la cicloide de Christopher Wren en 1658 y la catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659, Wallis reconoció el descubrimiento de William Neile de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . ^{[ 8 ]} Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, se menciona a William Neile como Gulielmus Nelius .

Antes del desarrollo formal completo del cálculo, la base de la forma integral moderna para la longitud de arco fue descubierta independientemente por Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat .

En 1659, van Heuraet publicó una construcción que demostraba que el problema de determinar la longitud de arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud de arco de una parábola semicúbica, lo que requería hallar el área bajo una parábola . ^{[ 9 ]} En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su obra De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Disertación geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas). ^{[ 10 ]}

Partiendo de su trabajo previo con tangentes, Fermat utilizó la curva

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

cuya tangente en x = a tenía una pendiente de

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

por lo que la recta tangente tendría la ecuación

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

A continuación, aumentó a en una pequeña cantidad a a + ε , lo que hizo que el segmento AC fuera una aproximación relativamente buena para la longitud de la curva de A a D. Para hallar la longitud del segmento AC , utilizó el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

que, al resolverse, produce

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

Para aproximar la longitud, Fermat sumaría una secuencia de segmentos cortos.