El momento adecuado

Con la convención temporal para la firma métrica , la métrica de Minkowski se define por $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$ y las coordenadas por $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$ para sistemas de referencia de Lorentz arbitrarios.

En cualquier marco de este tipo, un intervalo infinitesimal, aquí supuesto de tipo temporal, entre dos eventos se expresa como

y separa puntos en la trayectoria de una partícula (piensa en un reloj) . El mismo intervalo se puede expresar en coordenadas tales que en cada instante la partícula está en reposo . Dicho sistema de referencia se denomina sistema de referencia de reposo instantáneo, denotado aquí por las coordenadas.${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$para cada instante. Debido a la invariancia del intervalo (los sistemas de referencia instantáneos tomados en diferentes momentos están relacionados por transformaciones de Lorentz) se puede escribir $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$ puesto que en el marco de referencia instantáneo en reposo, la partícula o el marco mismo está en reposo, es decir,${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$. Dado que se supone que el intervalo es de tipo temporal (es decir,${\displaystyle ds^{2}>0}$), tomando la raíz cuadrada de lo anterior se obtiene ^{[ 10 ]}$${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$ o $${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$ Dada esta expresión diferencial para τ , el intervalo de tiempo propio se define como

Aquí P es la línea de universo desde un evento inicial hasta un evento final, con el orden de los eventos fijado por el requisito de que el evento final ocurra más tarde, según el reloj, que el evento inicial.

Utilizando (1) y nuevamente la invariancia del intervalo, se puede escribir ^{[ 11 ]}

dónde $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$ es una parametrización biyectiva arbitraria de la línea de universo P tal que $${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$ Se dan los extremos de P y a < b; v ( t ) es la velocidad de la coordenada en el instante t ; y x ( t ) , y ( t ) y z ( t ) son las coordenadas espaciales. La primera expresión es manifiestamente invariante de Lorentz. Todas son invariantes de Lorentz, ya que el tiempo propio y los intervalos de tiempo propios son, por definición, independientes de las coordenadas.

Si t , x , y , z están parametrizados por un parámetro λ , esto se puede escribir como $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

Si el movimiento de la partícula es constante, la expresión se simplifica a $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$ donde Δ representa el cambio de coordenadas entre los eventos inicial y final. La definición en relatividad especial se generaliza directamente a la relatividad general como se muestra a continuación.

El tiempo propio se define en la relatividad general de la siguiente manera: Dada una variedad pseudoriemanniana con coordenadas locales x ^μ y equipada con un tensor métrico g _μν , el intervalo de tiempo propio Δ τ entre dos eventos a lo largo de una trayectoria de tipo temporal P viene dado por la integral de línea ^{[ 12 ].}

Esta expresión es, como debe ser, invariante ante cambios de coordenadas. Se reduce (en coordenadas apropiadas) a la expresión de la relatividad especial en el espaciotiempo plano .

De la misma manera que se pueden elegir coordenadas de modo que x ¹ , x ² , x ³ = constante en la relatividad especial, esto también se puede hacer en la relatividad general. Entonces, en estas coordenadas, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

Esta expresión generaliza la definición (2) y puede tomarse como la definición. Luego, utilizando la invariancia del intervalo, la ecuación (4) se deduce de ella del mismo modo que (3) se deduce de (2) , con la salvedad de que aquí se permiten cambios de coordenadas arbitrarios.

Para un escenario de paradoja gemela , supongamos que hay un observador A que se mueve inercialmente entre las coordenadas A (0,0,0,0) y (10 años, 0, 0, 0). Esto significa que A permanece en${\displaystyle x=y=z=0}$durante 10 años de tiempo de coordenadas A. El intervalo de tiempo adecuado para A entre los dos eventos es entonces $${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

Por lo tanto, estar "en reposo" en un sistema de coordenadas de la relatividad especial significa que el tiempo propio y el tiempo de coordenadas son iguales.

Ahora bien, exista otro observador B que viaja en la dirección x desde (0,0,0,0) durante 5 años de tiempo en coordenadas A a 0,866 c hasta (5 años, 4,33 años luz, 0, 0). Una vez allí, B acelera y viaja en la otra dirección espacial durante otros 5 años de tiempo en coordenadas A hasta (10 años, 0, 0, 0). Para cada tramo del viaje, el intervalo de tiempo propio se puede calcular utilizando coordenadas A y viene dado por $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

Por lo tanto, el tiempo propio total para que el observador B vaya de (0,0,0,0) a (5 años, 4,33 años luz, 0, 0) y luego a (10 años, 0, 0, 0) es $${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

De este modo se demuestra que la ecuación del tiempo propio incorpora el efecto de dilatación del tiempo . De hecho, para un objeto en un espaciotiempo de relatividad especial (SR) que viaja con velocidad${\displaystyle v}$por un tiempo${\displaystyle \Delta T}$, el intervalo de tiempo adecuado experimentado es $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$ que es la fórmula de dilatación del tiempo SR.

Un observador que gira alrededor de otro observador inercial se encuentra en un marco de referencia acelerado. Para tal observador, el incremento (${\displaystyle d\tau }$Se necesita la forma de la ecuación de tiempo propia, junto con una descripción parametrizada de la trayectoria que se está siguiendo, como se muestra a continuación.

Sea C un observador situado en un disco que gira en el plano xy a una velocidad angular de coordenadas de${\displaystyle \omega }$y que se encuentra a una distancia r del centro del disco, con el centro del disco en x = y = z = 0. La trayectoria del observador C viene dada por${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$, dónde${\displaystyle T}$es el tiempo de coordenadas actual. Cuando r y${\displaystyle \omega }$son constantes,${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$y${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$La fórmula del tiempo propio incremental se convierte entonces en: $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

Así, para un observador que gira a una distancia constante r de un punto dado en el espacio-tiempo a una velocidad angular constante ω entre tiempos de coordenadas${\displaystyle T_{1}}$y${\displaystyle T_{2}}$, el tiempo adecuado experimentado será $${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$ como${\displaystyle v=r\omega }$para un observador en rotación. Este resultado es el mismo que para el ejemplo del movimiento lineal y muestra la aplicación general de la forma integral de la fórmula del tiempo propio.

Una conversión de coordenadas apropiada realizada con respecto a la métrica de Minkowski crea coordenadas donde un objeto en un disco giratorio permanece en la misma posición de coordenadas espaciales. Las nuevas coordenadas son $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ y $${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

Las coordenadas t y z permanecen sin cambios. En este nuevo sistema de coordenadas, la ecuación de tiempo propio incremental es $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

Siendo r , θ y z constantes en el tiempo, esto se simplifica a $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$ que es lo mismo que en el Ejemplo 2.

Ahora bien, supongamos que hay un objeto fuera del disco giratorio, en reposo inercial con respecto al centro del disco y a una distancia R de él. Este objeto tiene un movimiento de coordenadas descrito por dθ = − ω dt , que describe el objeto en reposo inercial girando en sentido contrario desde la perspectiva del observador giratorio. Ahora la ecuación del tiempo propio se convierte en: $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

Así pues, para el observador inercial en reposo, se observa una vez más que el tiempo de coordenadas y el tiempo propio transcurren a la misma velocidad, como se esperaba y se requería para la autoconsistencia interna de la teoría de la relatividad. ^{[ 14 ]}

La solución de Schwarzschild tiene una ecuación de tiempo propio incremental de $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$ dónde

• t es el tiempo calibrado con un reloj alejado de la Tierra y en reposo inercial con respecto a ella,
• r es una coordenada radial (que es efectivamente la distancia desde el centro de la Tierra),
• ɸ es una coordenada colatitudinal, la separación angular desde el Polo Norte en radianes .
• θ es una coordenada longitudinal, análoga a la longitud en la superficie terrestre pero independiente de la rotación de la Tierra . También se expresa en radianes.
• m es la masa geometrizada de la Tierra, m = GM / c ² ,
  • M es la masa de la Tierra,
  • G es la constante gravitacional .

Para demostrar el uso de la relación temporal adecuada, se utilizarán aquí varios subejemplos relacionados con la Tierra.

Para la Tierra , M =5,9742 × 10 ²⁴  kg , lo que significa que m =4,4354 × 10 ⁻³  m . Cuando nos encontramos en el Polo Norte, podemos asumir${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$(lo que significa que no nos movemos ni hacia arriba, ni hacia abajo, ni a lo largo de la superficie de la Tierra). En este caso, la ecuación del tiempo propio de la solución de Schwarzschild se convierte en:${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$. Luego, utilizando el radio polar de la Tierra como coordenada radial (o${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$), encontramos que $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

En el ecuador , el radio de la Tierra es r =6 378 137  m . Además, es necesario tener en cuenta la rotación de la Tierra. Esto imparte a un observador una velocidad angular de${\displaystyle d\theta /dt}$de 2π dividido por el período sideral de la rotación de la Tierra, 86162,4 segundos. Entonces${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$La ecuación de tiempo propia produce entonces $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

Desde un punto de vista no relativista, el resultado debería haber sido el mismo que el anterior. Este ejemplo demuestra cómo se utiliza la ecuación del tiempo propio, a pesar de que la Tierra rota y, por lo tanto, no es esféricamente simétrica como supone la solución de Schwarzschild. Para describir con mayor precisión los efectos de la rotación, se puede utilizar la métrica de Kerr .