Producto triple

En geometría y álgebra , el producto triple es un producto de tres vectores tridimensionales , generalmente vectores euclidianos . El nombre "producto triple" se utiliza para dos productos diferentes, el producto triple escalar de valor escalar y, con menos frecuencia, el producto triple vectorial de valor vectorial .

El triple producto escalar (también llamado producto mixto , producto de caja o producto escalar triple ) se define como el producto escalar de uno de los vectores por el producto vectorial de los otros dos.

Geométricamente, el triple producto escalar

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

es el volumen (signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores dados.

• El triple producto escalar no cambia bajo un desplazamiento circular de sus tres operandos ( a , b , c ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• Al intercambiar las posiciones de los operadores sin reordenar los operandos, el producto triple permanece inalterado. Esto se desprende de la propiedad anterior y de la propiedad conmutativa del producto escalar:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Al intercambiar dos de los tres operandos se anula el producto triple. Esto se desprende de la propiedad de desplazamiento circular y de la anticonmutatividad del producto vectorial:

  ${\displaystyle {\begin{alineado}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{alineado}}}$

• El triple producto escalar también puede entenderse como el determinante de la matriz 3 × 3 que tiene los tres vectores ya sea como sus filas o como sus columnas (una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1 }&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{ 1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• Si el triple producto escalar es igual a cero, entonces los tres vectores a , b y c son coplanares , ya que el paralelepípedo definido por ellos sería plano y no tendría volumen.
• Si dos vectores en el producto triple escalar son iguales, entonces su valor es cero:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• También:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• El producto simple de dos productos triples (o el cuadrado de un producto triple), puede desarrollarse en términos de productos escalares: ^[1] Esto reafirma en notación vectorial que el producto de los determinantes de dos matrices 3×3 es igual al determinante de su producto matricial. Como caso especial, el cuadrado de un producto triple es un determinante de Gram .$${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\ \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf { d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$
• La relación entre el producto triple y el producto de las tres normas vectoriales se conoce como seno polar , que varía entre −1 y 1.$${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

Aunque el producto triple escalar da el volumen del paralelepípedo, es un volumen con signo, cuyo signo depende de la orientación del marco o de la paridad de la permutación de los vectores. Esto significa que el producto se niega si se invierte la orientación, por ejemplo mediante una transformación de paridad , y por lo tanto se describe más apropiadamente como un pseudoescalar si la orientación puede cambiar.

Esto también se relaciona con la lateralidad del producto vectorial ; el producto vectorial se transforma en un pseudovector bajo transformaciones de paridad y, por lo tanto, se describe correctamente como un pseudovector. El producto escalar de dos vectores es un escalar, pero el producto escalar de un pseudovector y un vector es un pseudoescalar, por lo que el triple producto escalar (de vectores) debe tener un valor pseudoescalar.

Si T es una rotación propia entonces

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

pero si T es una rotación impropia entonces

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Estrictamente hablando, un escalar no cambia en absoluto bajo una transformación de coordenadas. (Por ejemplo, el factor de 2 utilizado para duplicar un vector no cambia si el vector está en coordenadas esféricas o rectangulares). Sin embargo, si cada vector se transforma mediante una matriz, entonces el producto triple termina siendo multiplicado por el determinante de la matriz de transformación, lo que podría ser bastante arbitrario para una no rotación. Es decir, el producto triple se describe más apropiadamente como una densidad escalar .

En álgebra exterior y álgebra geométrica, el producto exterior de dos vectores es un bivector , mientras que el producto exterior de tres vectores es un trivector . Un bivector es un elemento de plano orientado y un trivector es un elemento de volumen orientado, de la misma manera que un vector es un elemento de línea orientado.

Dados los vectores a , b y c , el producto

${\displaystyle \mathbf {a} \cuña \mathbf {b} \cuña \mathbf {c} }$

es un trivector con magnitud igual al triple producto escalar, es decir

${\displaystyle |\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} \cuña \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

y es el dual de Hodge del producto triple escalar. Como el producto exterior es asociativo, no se necesitan corchetes, ya que no importa cuál de a ∧ b o b ∧ c se calcula primero, aunque sí importa el orden de los vectores en el producto. Geométricamente, el trivector a ∧ b ∧ c corresponde al paralelepípedo generado por a , b y c , con bivectores a ∧ b , b ∧ c y a ∧ c que coinciden con las caras del paralelogramo del paralelepípedo.

El producto triple es idéntico a la forma de volumen del espacio 3 euclidiano aplicado a los vectores mediante el producto interior . También se puede expresar como una contracción de vectores con un tensor de rango 3 equivalente a la forma (o un pseudotensor equivalente a la pseudoforma de volumen); véase más abajo.

El producto triple vectorial se define como el producto vectorial de un vector por el producto vectorial de los otros dos. Se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Esto se conoce como expansión del producto triple o fórmula de Lagrange , ^{[2] [3]} aunque este último nombre también se utiliza para varias otras fórmulas . Su lado derecho se puede recordar utilizando el mnemónico "ACB − ABC", siempre que se tenga en cuenta qué vectores están unidos por puntos. A continuación se proporciona una prueba. Algunos libros de texto escriben la identidad de tal manera que se obtiene un mnemónico más familiar "BAC − CAB", como en "parte trasera del taxi". ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Como el producto vectorial es anticonmutativo, esta fórmula también puede escribirse (hasta la permutación de las letras) como:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

De la fórmula de Lagrange se deduce que el triple producto vectorial satisface:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

que es la identidad de Jacobi para el producto vectorial. Otra fórmula útil es la siguiente:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Estas fórmulas son muy útiles para simplificar los cálculos vectoriales en física . Una identidad relacionada con los gradientes y útil en el cálculo vectorial es la fórmula de Lagrange de identidad de producto vectorial: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

Esto también puede considerarse como un caso especial del operador más general de Laplace-de Rham . ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

El componente de viene dado por: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

De manera similar, los componentes y de están dados por: ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Combinando estos tres componentes obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Si se utiliza el álgebra geométrica, el producto vectorial b × c de los vectores se expresa como su producto exterior b ∧ c , un bivector . El segundo producto vectorial no se puede expresar como un producto exterior, de lo contrario se obtendría el triple producto escalar. En su lugar, se puede utilizar una contracción por la izquierda ^{[6] , por lo que la fórmula se convierte en [7]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

La prueba se desprende de las propiedades de la contracción. ^[6] El resultado es el mismo vector calculado utilizando a × ( b × c ).

En notación tensorial , el producto triple se expresa utilizando el símbolo de Levi-Civita : ^[8] y haciendo referencia al componente -ésimo del vector resultante. Esto se puede simplificar realizando una contracción en los símbolos de Levi-Civita , donde es la función delta de Kronecker ( cuando y cuando ) y es la función delta de Kronecker generalizada . Podemos razonar esta identidad reconociendo que el índice se sumará dejando solo y . En el primer término, fijamos y por lo tanto . Del mismo modo, en el segundo término, fijamos y por lo tanto . $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i=l}$${\displaystyle j=m}$${\displaystyle i=m}$${\displaystyle l=j}$

Volviendo al producto triple cruz, $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.}$$

Considere la integral de flujo del campo vectorial a través de la superficie definida paramétricamente : . El vector normal unitario a la superficie está dado por , por lo que el integrando es un producto triple escalar. ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$

• Producto cuádruple
• Relaciones del álgebra vectorial

• Lass, Harry (1950). Análisis vectorial y tensorial . McGraw-Hill Book Company, Inc., págs. 23-25.

• Vídeo de Khan Academy sobre la prueba de la expansión del triple producto