Integral de superficie

En matemáticas , particularmente en cálculo multivariable , una integral de superficie es una generalización de las integrales múltiples a la integración sobre superficies . Puede considerarse como el análogo de la integral doble de la integral de línea . Dada una superficie, se puede integrar sobre ella un campo escalar (es decir, una función de posición que devuelve un escalar como valor) o un campo vectorial (es decir, una función que devuelve un vector como valor). Si una región R no es plana, se denomina superficie , como se muestra en la ilustración.

Las integrales de superficie tienen aplicaciones en física , particularmente en las teorías clásicas del electromagnetismo y la mecánica de fluidos .

Supongamos que f es un campo escalar, vectorial o tensorial definido en una superficie S. Para hallar una fórmula explícita para la integral de superficie de f sobre S , necesitamos parametrizar S definiendo un sistema de coordenadas curvilíneas en S , como la latitud y la longitud en una esfera . Sea dicha parametrización r ( s , t ) , donde ( s , t ) varía en alguna región T del plano . Entonces, la integral de superficie viene dada por

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde la expresión entre barras en el lado derecho es la magnitud del producto vectorial de las derivadas parciales de r ( s , t ) , y se conoce como el elemento de superficie (que, por ejemplo, daría un valor menor cerca de los polos de una esfera, donde las líneas de longitud convergen de forma más pronunciada y las coordenadas latitudinales están más espaciadas). La integral de superficie también puede expresarse en la forma equivalente

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde g es el determinante de la primera forma fundamental del mapeo de superficie r ( s , t ) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Por ejemplo, si queremos hallar el área de la superficie de la gráfica de alguna función escalar, digamos z = f ( x , y ) , tenemos

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

donde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . De modo que${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, y${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

Esta es la fórmula estándar para el área de una superficie descrita de esta manera. El vector de la penúltima línea se puede identificar como el vector normal a la superficie.

Debido a la presencia del producto vectorial, las fórmulas anteriores solo funcionan para superficies incrustadas en un espacio tridimensional.

Esto puede verse como la integración de una forma de volumen riemanniana sobre la superficie parametrizada, donde el tensor métrico viene dado por la primera forma fundamental de la superficie.

Una superficie curva${\displaystyle S}$con un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} }$atravesándolo. Las flechas rojas (vectores) representan la magnitud y la dirección del campo en varios puntos de la superficie.

Superficie dividida en pequeños parches${\displaystyle dS=du\,dv}$mediante una parametrización de la superficie${\displaystyle [u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]}$

El flujo a través de cada parche es igual a la componente normal (perpendicular) del campo.${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$en la ubicación del parche${\displaystyle \mathbf {x} }$multiplicado por el área${\displaystyle dS}$. El componente normal es igual al producto escalar de${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$con el vector normal unitario${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$(flechas azules)

El flujo total a través de la superficie se obtiene sumando${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$para cada parche. En el límite cuando los parches se vuelven infinitesimalmente pequeños, esta es la integral de superficie.${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}$

Consideremos un campo vectorial v en una superficie S , es decir, para cada r = ( x , y , z ) en S , v ( r ) es un vector.

La integral de v sobre S se definió en la sección anterior. Supongamos ahora que se desea integrar únicamente la componente normal del campo vectorial sobre la superficie, cuyo resultado es un escalar, generalmente denominado flujo que atraviesa la superficie. Por ejemplo, imaginemos que tenemos un fluido fluyendo a través de S , de modo que v ( r ) determina la velocidad del fluido en r . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

Esta ilustración implica que si el campo vectorial es tangente a S en cada punto, entonces el flujo es cero porque, en la superficie S , el fluido solo fluye a lo largo de S , sin entrar ni salir. Esto también implica que si v no fluye solo a lo largo de S , es decir, si v tiene una componente tangencial y una normal, entonces solo la componente normal contribuye al flujo. Basándonos en este razonamiento, para hallar el flujo, necesitamos calcular el producto escalar de v con la normal unitaria de la superficie n a S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, e integrar el campo obtenido como se indicó anteriormente. En otras palabras, tenemos que integrar v con respecto al elemento vectorial de la superficie.${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$, que es el vector normal a S en el punto dado, cuya magnitud es${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

Encontramos la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

El producto vectorial del lado derecho de la última expresión es una normal de superficie (no necesariamente unitaria) determinada por la parametrización.

Esta fórmula define la integral de la izquierda (nótese el punto y la notación vectorial para el elemento de superficie).

También podemos interpretar esto como un caso especial de integración de 2-formas, donde identificamos el campo vectorial con una 1-forma y luego integramos su dual de Hodge sobre la superficie. Esto es equivalente a integrar${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$sobre la superficie sumergida, donde${\displaystyle \mathrm {d} S}$es la forma de volumen inducida en la superficie, obtenida por multiplicación interior de la métrica riemanniana del espacio ambiente con la normal exterior de la superficie.

Dejar

${\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}$

Sea una 2-forma diferencial definida en una superficie S , y sea

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

ser una parametrización de S que preserva la orientación con${\displaystyle (s,t)}$en D. Cambiando coordenadas desde${\displaystyle (x,y)}$a${\displaystyle (s,t)}$, las formas diferenciales se transforman como

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Entonces${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$se transforma en${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}$, dónde${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$denota el determinante del jacobiano de la función de transición desde${\displaystyle (s,t)}$a${\displaystyle (x,y)}$La transformación de las demás formas es similar.

Entonces, la integral de superficie de f en S viene dada por

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

dónde

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

es el elemento de superficie normal a S.

Observemos que la integral de superficie de esta 2-forma es la misma que la integral de superficie del campo vectorial que tiene como componentes${\displaystyle f_{x}}$,${\displaystyle f_{y}}$y${\displaystyle f_{z}}$.

Se pueden obtener varios resultados útiles para integrales de superficie utilizando geometría diferencial y cálculo vectorial , como el teorema de la divergencia , el flujo magnético y su generalización, el teorema de Stokes .

Observemos que definimos la integral de superficie mediante una parametrización de la superficie S. Sabemos que una superficie dada puede tener varias parametrizaciones. Por ejemplo, si desplazamos la ubicación del Polo Norte y el Polo Sur sobre una esfera, la latitud y la longitud cambian para todos los puntos de la esfera. Surge entonces la pregunta natural de si la definición de la integral de superficie depende de la parametrización elegida. Para integrales de campos escalares, la respuesta es sencilla: el valor de la integral de superficie será el mismo independientemente de la parametrización utilizada.

Para las integrales de campos vectoriales, la situación se complica debido a la presencia de la normal a la superficie. Se puede demostrar que, dadas dos parametrizaciones de la misma superficie, cuyas normales apuntan en la misma dirección, se obtiene el mismo valor para la integral de superficie con ambas. Sin embargo, si las normales de estas parametrizaciones apuntan en direcciones opuestas, el valor de la integral de superficie obtenido con una parametrización es el negativo del obtenido con la otra. Por lo tanto, dada una superficie, no es necesario ceñirse a una única parametrización, pero, al integrar campos vectoriales, sí es necesario decidir de antemano en qué dirección apuntará la normal y luego elegir cualquier parametrización coherente con esa dirección.

Otro problema es que, a veces, las superficies no tienen parametrizaciones que las cubran por completo. La solución obvia es dividir la superficie en varias partes, calcular la integral de superficie en cada una y luego sumarlas todas. Así es como funciona, pero al integrar campos vectoriales, es necesario tener cuidado al elegir el vector normal para cada parte de la superficie, de modo que al unir las partes, los resultados sean consistentes. Para el cilindro, esto significa que si decidimos que para la región lateral la normal apunta hacia afuera del cuerpo, entonces para las partes circulares superior e inferior, la normal también debe apuntar hacia afuera del cuerpo.

Por último, existen superficies que no admiten una normal de superficie en cada punto con resultados consistentes (por ejemplo, la cinta de Möbius ). Si se divide dicha superficie en fragmentos, se elige una parametrización y la normal de superficie correspondiente para cada fragmento, y luego se vuelven a unir, se observa que los vectores normales provenientes de diferentes fragmentos no coinciden. Esto significa que en algún punto de unión entre dos fragmentos, los vectores normales apuntarán en direcciones opuestas. Dicha superficie se denomina no orientable , y en este tipo de superficie no se puede hablar de campos vectoriales integradores.

• Elemento de área
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• Teorema de Stokes
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• Elemento de volumen
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• sistema de coordenadas cartesianas
• Elementos de volumen y superficie en sistemas de coordenadas esféricas
• Elementos de volumen y superficie en sistemas de coordenadas cilíndricas
• Método Holstein-Herring

• Weisstein, Eric W. "Integral de superficie" . MathWorld .