Elemento de volumen

En matemáticas , un elemento de volumen proporciona un medio para integrar una función con respecto al volumen en varios sistemas de coordenadas, como coordenadas esféricas y cilíndricas . Así, un elemento de volumen es una expresión de la forma donde son las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto se puede calcular mediante Por ejemplo, en coordenadas esféricas , y por lo tanto . $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_ {1},u_ {2},u_ {3})\,\mathrm {d} u_ {1}\,\mathrm {d} u_ {2}\,\mathrm {d} u_ {3}}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \operatorname {Volumen} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

La noción de elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones se conoce a menudo como elemento de área , y en este contexto es útil para realizar integrales de superficie . Bajo cambios de coordenadas, el elemento de volumen cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano de la transformación de coordenadas (por la fórmula de cambio de variables ). Este hecho permite definir los elementos de volumen como una especie de medida en una variedad . En una variedad orientable diferenciable , un elemento de volumen surge típicamente de una forma de volumen : una forma diferencial de grado máximo . En una variedad no orientable, el elemento de volumen es típicamente el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente): define una 1-densidad .

En el espacio euclidiano , el elemento de volumen viene dado por el producto de los diferenciales de las coordenadas cartesianas. En diferentes sistemas de coordenadas de la forma , , , el elemento de volumen cambia por el jacobiano (determinante) del cambio de coordenadas: Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática) el determinante jacobiano es tal que Esto puede verse como un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman mediante una imagen inversa como $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\ Displaystyle y = y (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$${\ Displaystyle z = z (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$${\displaystyle F^{*}}$$${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

Consideremos el subespacio lineal del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ que está generado por una colección de vectores linealmente independientes. Para hallar el elemento de volumen del subespacio, es útil conocer el hecho, a partir del álgebra lineal , de que el volumen del paralelepípedo generado por los vectores es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gram de los vectores : $${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

Cualquier punto p en el subespacio puede recibir coordenadas tales que En un punto p , si formamos un pequeño paralelepípedo con lados , entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gram Esto define, por lo tanto, la forma de volumen en el subespacio lineal. ${\ Displaystyle (u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {k})}$$${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

En una variedad riemanniana orientada de dimensión n , el elemento de volumen es una forma de volumen igual al dual de Hodge de la función constante unitaria, : Equivalentemente, el elemento de volumen es precisamente el tensor de Levi-Civita . ^{[ 1 ]} En coordenadas, donde es el determinante del tensor métrico g escrito en el sistema de coordenadas. ${\displaystyle f(x)=1}$$${\displaystyle \omega =\star 1.}$$${\displaystyle \epsilon }$$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$${\displaystyle \det g}$

Un ejemplo sencillo de elemento de volumen se puede explorar considerando una superficie bidimensional incrustada en un espacio euclidiano n- dimensional . Dicho elemento de volumen a veces se denomina elemento de área . Consideremos un subconjunto y una función de mapeo que definen así una superficie incrustada en . En dos dimensiones, el volumen es simplemente el área, y un elemento de volumen proporciona una forma de determinar el área de partes de la superficie. Por lo tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma que permite calcular el área de un conjunto B que se encuentra en la superficie calculando la integral ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

Aquí encontraremos el elemento de volumen en la superficie que define el área en el sentido usual. La matriz jacobiana de la aplicación es con índice i que va de 1 a n , y j que va de 1 a 2. La métrica euclidiana en el espacio n- dimensional induce una métrica en el conjunto U , con elementos de matriz $${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$$${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

El determinante de la métrica viene dado por $${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

Para una superficie regular, este determinante no se anula; equivalentemente, la matriz jacobiana tiene rango 2.

Consideremos ahora un cambio de coordenadas en U , dado por un difeomorfismo tal que las coordenadas se expresan en términos de mediante . La matriz jacobiana de esta transformación viene dada por $${\displaystyle f\colon U\to U,}$$${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$$${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

En las nuevas coordenadas, tenemos y por lo tanto la métrica se transforma como donde es la métrica de retroceso en el sistema de coordenadas v . El determinante es $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$$${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$${\displaystyle {\tilde {g}}}$$${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

Dada la construcción anterior, ahora debería ser sencillo comprender cómo el elemento de volumen permanece invariante ante un cambio de coordenadas que preserva la orientación.

En dos dimensiones, el volumen es simplemente el área. El área de un subconjunto viene dada por la integral ${\displaystyle B\subset U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en ambos sistemas de coordenadas, el elemento de volumen toma la misma expresión: la expresión del elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas.

Cabe señalar que la presentación anterior no hacía hincapié en nada específico relacionado con dos dimensiones; lo anterior se generaliza fácilmente a dimensiones arbitrarias.

Por ejemplo, consideremos la esfera con radio r centrada en el origen en R³ . Esta puede parametrizarse usando coordenadas esféricas con el mapa Entonces y el elemento ^de área es $${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

• Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
• Integral de volumen
• Integral de superficie
• Integral de línea
• Elemento de línea

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8