Escalar relativo

Supongamos que la temperatura en una habitación está dada en términos de la función${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$en coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y,z)}$y la función en coordenadas cilíndricas${\displaystyle (r,t,h)}$Se desea. Los dos sistemas de coordenadas están relacionados por los siguientes conjuntos de ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\t&=\arctan(y/x)\\h&=z\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(t)\\y&=r\sin(t)\\z&=h.\end{aligned}}}$$

Usando${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))}$permite derivar${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=2r\cos(t)+r\sin(t)+5}$como la función transformada.

Consideremos el punto${\displaystyle P}$cuyas coordenadas cartesianas son${\displaystyle (x,y,z)=(2,3,4)}$y cuyo valor correspondiente en el sistema cilíndrico es${\displaystyle (r,t,h)=({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)}$Un cálculo rápido muestra que${\displaystyle f(2,3,4)=12}$y${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12}$Además, esta igualdad se habría mantenido para cualquier punto elegido.${\displaystyle P}$. De este modo,${\displaystyle f(x,y,z)}$es la "función de temperatura en el sistema de coordenadas cartesianas " y${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)}$es la "función de temperatura en el sistema de coordenadas cilíndricas ".

Una forma de ver estas funciones es como representaciones de la función "padre" que toma un punto de la variedad como argumento y devuelve la temperatura.

El problema podría haberse revertido. Se podría haber dado${\displaystyle {\bar {f}}}$y deseaba haber derivado la función de temperatura cartesiana${\displaystyle f}$Esto simplemente invierte la noción de sistema de coordenadas "nuevo" frente al "original".

Supongamos que se desea integrar estas funciones sobre "la habitación", que se denotará por${\displaystyle D}$. (Sí, integrar la temperatura es extraño, pero eso es en parte lo que se va a demostrar.) Supongamos que la región${\displaystyle D}$se da en coordenadas cilíndricas como${\displaystyle r}$de${\displaystyle [0,2]}$,${\displaystyle t}$de${\displaystyle [0,\pi /2]}$y${\displaystyle h}$de${\displaystyle [0,2]}$(es decir, la "habitación" es un cuarto de sección de un cilindro de radio y altura 2). La integral de${\displaystyle f}$en toda la región${\displaystyle D}$es$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$ El valor de la integral de${\displaystyle {\bar {f}}}$sobre la misma región es$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=12+10\pi .}$$ No son iguales. La integral de la temperatura no es independiente del sistema de coordenadas utilizado. En ese sentido, no es física, de ahí que sea "extraña". Nótese que si la integral de${\displaystyle {\bar {f}}}$incluyó un factor del jacobiano (que es simplemente${\displaystyle r}$), obtenemos$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=16+10\pi ,}$$ que es igual a la integral original pero no es la integral de la temperatura porque la temperatura es un escalar relativo de peso 0, no un escalar relativo de peso 1.

Si hubiéramos dicho${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$representaba la densidad de masa; sin embargo, su valor transformado debería incluir el factor jacobiano que tiene en cuenta la distorsión geométrica del sistema de coordenadas. La función transformada es ahora${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=(2r\cos(t)+r\sin(t)+5)r}$Esta vez ${\displaystyle f(2,3,4)=12}$pero${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12{\sqrt {29}}}$. Como antes, la integral (la masa total) en coordenadas cartesianas es $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$ El valor de la integral de${\displaystyle {\bar {f}}}$sobre la misma región es $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=16+10\pi .}$$ Son iguales. La integral de la densidad de masa da la masa total, que es un concepto independiente de las coordenadas. Nótese que si la integral de${\displaystyle {\bar {f}}}$También se incluyó un factor del jacobiano como antes, obtenemos$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=24+40\pi /3,}$$ lo cual no es igual al caso anterior.