Pseudotensor

En física y matemáticas , un pseudotensor suele ser una magnitud que se transforma como un tensor bajo una transformación de coordenadas que conserva la orientación (por ejemplo, una rotación propia ), pero que además cambia de signo bajo una transformación de coordenadas que invierte la orientación (por ejemplo, una rotación impropia ), la cual puede expresarse como una rotación propia seguida de una reflexión . Esta es una generalización de un pseudovector . Para evaluar el signo de un tensor o pseudotensor, debe contraerse con algunos vectores, tantos como su rango , pertenecientes al espacio donde se realiza la rotación, manteniendo inalteradas las coordenadas del tensor (a diferencia de lo que se hace en el caso de un cambio de base). Bajo una rotación impropia, un pseudotensor y un tensor propio del mismo rango tendrán signos diferentes, dependiendo de si el rango es par o impar . A veces, la inversión de los ejes se utiliza como ejemplo de una rotación impropia para observar el comportamiento de un pseudotensor, pero solo funciona si las dimensiones del espacio vectorial son impares; de lo contrario, la inversión es una rotación propia sin reflexión adicional.

Existe un segundo significado para pseudotensor (y también para pseudovector ), restringido a la relatividad general . Los tensores obedecen leyes de transformación estrictas, pero los pseudotensores en este sentido no están sujetos a tales restricciones. En consecuencia, la forma de un pseudotensor, en general, cambia al modificarse el sistema de referencia . Una ecuación que contiene pseudotensores, como los pseudotensores de energía-momento , que es válida en un sistema de referencia no necesariamente lo será en otro. Esto limita la relevancia de los pseudotensores, ya que las ecuaciones en las que aparecen no son invariantes en su forma.

Los avances matemáticos de la década de 1980 permitieron comprender los pseudotensores como secciones de haces de jets .

Dos objetos matemáticos bastante diferentes reciben el nombre de pseudotensor en contextos distintos.

El primer contexto es esencialmente un tensor multiplicado por un factor de signo adicional, de modo que el pseudotensor cambia de signo bajo reflexiones cuando un tensor normal no lo hace. Según una definición, un pseudotensor P del tipo${\displaystyle (p,q)}$es un objeto geométrico cuyos componentes en una base arbitraria se enumeran por${\displaystyle (p+q)}$índices y obedecer la regla de transformación $${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$$ bajo un cambio de base. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Aquí${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$son los componentes del pseudotensor en las bases nueva y antigua, respectivamente,${\displaystyle A^{i_{q}}{}_{k_{q}}}$es la matriz de transición para los índices contravariantes ,${\displaystyle B^{l_{p}}{}_{j_{p}}}$es la matriz de transición para los índices covariantes , y${\displaystyle (-1)^{A}=\mathrm {sign} \left(\det \left(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}\right)\right)=\pm {1}.}$ Esta regla de transformación difiere de la regla para un tensor ordinario únicamente por la presencia del factor${\displaystyle (-1)^{A}.}$

El segundo contexto en el que se utiliza el término «pseudotensor» es la relatividad general . En esta teoría, no se puede describir la energía y el momento del campo gravitatorio mediante un tensor de energía-momento. En su lugar, se introducen objetos que se comportan como tensores solo con respecto a transformaciones de coordenadas restringidas. Estrictamente hablando, tales objetos no son tensores en absoluto. Un ejemplo famoso de un pseudotensor de este tipo es el pseudotensor de Landau-Lifshitz .

En variedades no orientables , no se puede definir una forma de volumen globalmente debido a la falta de orientación, pero sí se puede definir un elemento de volumen , que formalmente es una densidad y que también puede denominarse forma de pseudovolumen , debido a la torsión de signo adicional (tensorización con el fibrado de signos). El elemento de volumen es una densidad pseudotensorial según la primera definición.

En la integración multidimensional, se puede lograr un cambio de variables mediante la incorporación de un factor del valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana . El uso del valor absoluto introduce un cambio de signo para las transformaciones de coordenadas impropias, compensando así la convención de mantener positivo el elemento de integración (volumen); de este modo, el integrando es un ejemplo de densidad pseudotensorial según la primera definición.

Los símbolos de Christoffel de una conexión afín en una variedad pueden considerarse como los términos de corrección de las derivadas parciales de una expresión de coordenadas de un campo vectorial con respecto a dichas coordenadas, para convertirla en la derivada covariante del campo vectorial. Si bien la conexión afín en sí no depende de la elección de coordenadas, sus símbolos de Christoffel sí, lo que los convierte en una magnitud pseudotensorial según la segunda definición.

• Acción (física) – Cantidad física de dimensión energía × tiempo 
• Derecho de la conservación – Derecho científico relativo a la conservación de un bien físico Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Relatividad general : teoría de la gravitación como espaciotiempo curvo. 
• Tensor : objeto algebraico con aplicaciones geométricas. 
• Densidad tensorial : generalización de campos tensoriales 
• Campo tensorial : Asignación de un tensor que varía continuamente a lo largo de una región del espacio. 
• Teorema de Noether : Enunciado que relaciona las simetrías diferenciables con cantidades conservadas. 
• Pseudovector : magnitud física que cambia de signo con una rotación impropia. 
• Principio variacional : principios científicos que permiten el uso del cálculo de variaciones. 

• Descripción de Mathworld para pseudotensor .