Conjuntos positivos y negativos

En la teoría de la medida , dado un espacio medible${\displaystyle (X,\Sigma )}$y una medida firmada${\displaystyle \mu }$En él, un conjunto${\displaystyle A\in \Sigma }$se llama unconjunto positivo para${\displaystyle \mu }$si cada${\displaystyle \Sigma }$-subconjunto medible de${\displaystyle A}$tiene medida no negativa; es decir, para cada${\displaystyle E\subseteq A}$que satisface${\displaystyle E\in \Sigma ,}$${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$sostiene. ^{[ 1 ]}

De manera similar, un conjunto${\displaystyle A\in \Sigma }$se llama unconjunto negativo para${\displaystyle \mu }$si para cada subconjunto${\displaystyle E\subseteq A}$satisfactorio${\displaystyle E\in \Sigma ,}$${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$sostiene. ^{[ 1 ]}

Intuitivamente, un conjunto medible${\displaystyle A}$es positivo (o negativo) para${\displaystyle \mu }$si${\displaystyle \mu }$es no negativo (resp. no positivo) en todas partes${\displaystyle A.}$Por supuesto, si${\displaystyle \mu }$es una medida no negativa , cada elemento de${\displaystyle \Sigma }$es un conjunto positivo para${\displaystyle \mu .}$

A la luz del teorema de Radon-Nikodym , si${\displaystyle \nu }$es una medida positiva σ-finita tal que${\displaystyle |\mu |\ll \nu ,}$un conjunto${\displaystyle A}$es un conjunto positivo para${\displaystyle \mu }$si y solo si el derivado de Radon-Nikodym${\displaystyle d\mu /d\nu }$es no negativo${\displaystyle \nu }$-casi en todas partes${\displaystyle A.}$De manera similar, un conjunto negativo es un conjunto donde${\displaystyle d\mu /d\nu \leq 0}$${\displaystyle \nu }$-en casi todas partes.

De la definición se deduce que todo subconjunto medible de un conjunto positivo o negativo es también positivo o negativo. Asimismo, la unión de una secuencia de conjuntos positivos o negativos es también positiva o negativa; más formalmente, si${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$es una secuencia de conjuntos positivos, entonces $${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_ {n}}$$ También es un conjunto positivo; lo mismo ocurre si se reemplaza la palabra "positivo" por "negativo".

Un conjunto que es a la vez positivo y negativo es un${\displaystyle \mu }$- conjunto nulo , para si${\displaystyle E}$es un subconjunto medible de un conjunto positivo y negativo${\displaystyle A,}$entonces ambos${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$y${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$debe sostenerse y, por lo tanto,${\displaystyle \mu (E)=0.}$

El teorema de descomposición de Hahn establece que para cada espacio medible${\displaystyle (X,\Sigma )}$con una medida firmada${\displaystyle \mu ,}$hay una partición de${\displaystyle X}$en un conjunto positivo y otro negativo; dicha partición${\displaystyle (P,N)}$es único hasta${\displaystyle \mu }$-conjuntos nulos, y se denomina descomposición de Hahn de la medida con signo${\displaystyle \mu .}$^{[ 1 ]}

Dada una descomposición de Hahn${\displaystyle (P,N)}$de${\displaystyle X,}$es fácil demostrar que${\displaystyle A\subsetequ X}$es un conjunto positivo si y solo si${\displaystyle A}$difiere de un subconjunto de${\displaystyle P}$por un${\displaystyle \mu }$-conjunto nulo; equivalentemente, si${\displaystyle A\smallsetminus P}$es${\displaystyle \mu }$-nulo. Lo mismo ocurre con los conjuntos negativos, si${\displaystyle N}$se utiliza en lugar de${\displaystyle P.}$

• Función de conjuntos : función que transforma conjuntos en números.