Procesamiento de señales analógicas

La convolución es el concepto básico en el procesamiento de señales que establece que una señal de entrada se puede combinar con la función del sistema para encontrar la señal de salida. Es la integral del producto de dos formas de onda después de que una de ellas se haya invertido y desplazado; el símbolo de convolución es * .

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)=\int _{a}^{b}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau }$

Esa es la integral de convolución y se utiliza para encontrar la convolución de una señal y un sistema; típicamente a = −∞ y b = +∞ .

Consideremos dos formas de onda f y g . Al calcular la convolución, determinamos cuánto debe desplazarse la función g invertida a lo largo del eje x para que sea idéntica a la función f . La función de convolución invierte y desplaza la función g a lo largo del eje, y calcula la integral del producto de f y la función g invertida y desplazada para cada desplazamiento posible. Cuando las funciones coinciden, el valor de f * g se maximiza. Esto ocurre porque, al multiplicarse las áreas positivas (picos) o negativas (valles), contribuyen a la integral.

La transformada de Fourier es una función que transforma una señal o sistema del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, pero solo funciona para ciertas funciones. La restricción sobre qué sistemas o señales pueden ser transformados por la transformada de Fourier es

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|\,dt<\infty }$

Esta es la integral de la transformada de Fourier:

${\displaystyle X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\,dt}$

Por lo general, no se utiliza la integral de la transformada de Fourier para determinar la transformada; en su lugar, se utiliza una tabla de pares de transformadas para hallar la transformada de Fourier de una señal o sistema. La transformada inversa de Fourier se utiliza para pasar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }$

Cada señal o sistema que puede transformarse tiene una transformada de Fourier única. Existe una única señal temporal para cada señal de frecuencia, y viceversa.

La transformada de Laplace es una transformada de Fourier generalizada . Permite transformar cualquier sistema o señal, ya que se realiza en el plano complejo en lugar de solo en la línea jω, como la transformada de Fourier. La principal diferencia radica en que la transformada de Laplace tiene una región de convergencia dentro de la cual es válida. Esto implica que una señal en frecuencia puede tener más de una señal en el tiempo; la señal de tiempo correcta para la transformada viene determinada por la región de convergencia . Si la región de convergencia incluye el eje jω , jω puede sustituirse en la transformada de Laplace por s , obteniéndose el mismo resultado que en la transformada de Fourier. La transformada de Laplace es:

${\displaystyle X(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}$

y la transformada inversa de Laplace, si todas las singularidades de X ( s ) están en la mitad izquierda del plano complejo, es:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(s)e^{st}\,ds.}$

Los diagramas de Bode representan la magnitud frente a la frecuencia y la fase frente a la frecuencia de un sistema. El eje de magnitud se expresa en decibelios (dB). El eje de fase se expresa en grados o radianes. El eje de frecuencia se representa en escala logarítmica. Estos diagramas son útiles porque, para entradas sinusoidales, la salida es la entrada multiplicada por el valor de la magnitud en la frecuencia y desplazada por el valor de la fase en la misma frecuencia.

Este es el dominio con el que la mayoría de la gente está familiarizada. Un gráfico en el dominio del tiempo muestra la amplitud de la señal en función del tiempo.

Un gráfico en el dominio de la frecuencia muestra el desfase o la magnitud de una señal en cada frecuencia en la que existe. Estos valores se obtienen mediante la transformada de Fourier de una señal temporal y se representan gráficamente de forma similar a un diagrama de Bode.

Las funciones sinusoidales son el elemento fundamental del procesamiento de señales analógicas. Todas las señales del mundo real pueden representarse como una suma infinita de funciones sinusoidales mediante una serie de Fourier . Una función sinusoidal puede representarse en términos de una exponencial mediante la aplicación de la fórmula de Euler .

Un impulso ( función delta de Dirac ) se define como una señal de magnitud infinita y ancho infinitesimalmente estrecho, con un área bajo la cual igual a uno, centrada en cero. Un impulso puede representarse como una suma infinita de sinusoides que incluye todas las frecuencias posibles. En realidad, no es posible generar una señal de este tipo, pero puede aproximarse suficientemente con un pulso estrecho de gran amplitud para producir la respuesta impulsional teórica en una red con un alto grado de precisión. El símbolo de un impulso es δ ( t ) . Si un impulso se utiliza como entrada a un sistema, la salida se conoce como respuesta impulsional. La respuesta impulsional define el sistema porque todas las frecuencias posibles están representadas en la entrada.

Una función escalón unitario, también llamada función escalón de Heaviside , es una señal cuya magnitud es cero antes de cero y uno después de cero. Su símbolo es u ( t ) . Si se utiliza un escalón como entrada a un sistema, la salida se denomina respuesta al escalón. La respuesta al escalón muestra cómo responde un sistema a una entrada repentina, similar a encender un interruptor. El período antes de que la salida se estabilice se denomina parte transitoria de la señal. La respuesta al escalón se puede multiplicar por otras señales para mostrar cómo responde el sistema cuando se activa una entrada repentinamente.

La función escalón unitario está relacionada con la función delta de Dirac mediante

${\displaystyle u(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (s)ds}$

La linealidad implica que si se tienen dos entradas y dos salidas correspondientes, al combinar linealmente esas dos entradas se obtendrá una combinación lineal de las salidas. Un ejemplo de sistema lineal es un filtro paso bajo o paso alto de primer orden. Los sistemas lineales se componen de dispositivos analógicos que presentan propiedades lineales. Estos dispositivos no tienen que ser completamente lineales, pero deben tener una región de operación lineal. Un amplificador operacional es un dispositivo no lineal, pero tiene una región de operación lineal, por lo que puede modelarse como lineal dentro de dicha región. La invariancia temporal significa que, independientemente del momento de inicio del sistema, la salida será la misma. Por ejemplo, si se introduce una entrada en un sistema hoy, se obtendrá la misma salida si se inicia mañana. No existen sistemas reales que sean LTI (invariancia temporal lineal), pero muchos sistemas pueden modelarse como LTI para simplificar la determinación de su salida. Todos los sistemas dependen en cierta medida de factores como la temperatura, el nivel de señal u otros elementos que los hacen no lineales o no invariantes en el tiempo, pero la mayoría son lo suficientemente estables como para modelarse como LTI. La linealidad y la invariancia en el tiempo son importantes porque son los únicos tipos de sistemas que se pueden resolver fácilmente utilizando métodos convencionales de procesamiento de señales analógicas. Una vez que un sistema se vuelve no lineal o no invariante en el tiempo, se convierte en un problema de ecuaciones diferenciales no lineales, y son muy pocos los que se pueden resolver. ^{[ 1 ]}