Función escalonada de Heaviside

La función escalonada de Heaviside , o función escalonada unitaria , normalmente denotada por H o ​​θ (pero a veces u , 1 o 𝟙 ), es una función escalonada que lleva el nombre de Oliver Heaviside , cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. Se utilizan diferentes convenciones en relación con el valor H (0) . Es un ejemplo de la clase general de funciones escalonadas, todas las cuales se pueden representar como combinaciones lineales de traslaciones de esta.

La función se desarrolló originalmente en cálculo operacional para la solución de ecuaciones diferenciales , donde representa una señal que se activa en un momento específico y permanece activa indefinidamente. Heaviside desarrolló el cálculo operacional como una herramienta en el análisis de las comunicaciones telegráficas y representó la función como 1 .

Tomando la convención de que H (0) = 1 , la función de Heaviside puede definirse como:

• una función por partes :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• utilizando la notación de corchetes de Iverson :$${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• una función indicadora :$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$
• La derivada de la función rampa :$${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{para }}x\neq 0}$$

Además, la función escalonada de Heaviside se puede representar como una hiperfunción como donde log z es el valor principal del logaritmo complejo de z . $${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).}$$

También se puede expresar para x ≠ 0 en términos de la función de valor absoluto como $${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.}$$

La función delta de Dirac es la derivada de la función de Heaviside: Por lo tanto, la función de Heaviside puede considerarse como la integral de la función delta de Dirac. Esto a veces se escribe como aunque esta expansión puede no ser válida (o incluso no tener sentido) para x = 0 , dependiendo del formalismo que se use para dar significado a las integrales que involucran δ . En este contexto, la función de Heaviside es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria que es casi seguramente 0. (Véase Variable aleatoria constante .) $${\displaystyle \delta(x)={\frac {d}{dx}}H(x).}$$$${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds}$$

Las aproximaciones a la función escalonada de Heaviside son útiles en bioquímica y neurociencia , donde se pueden utilizar aproximaciones logísticas de funciones escalonadas (como las ecuaciones de Hill y de Michaelis-Menten ) para aproximar interruptores celulares binarios en respuesta a señales químicas.

Para una aproximación suave a la función escalonada, se puede utilizar la función logística $${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$

donde un k mayor corresponde a una transición más aguda en x = 0. Si tomamos H (0) = ⁠1/2⁠ , la igualdad se cumple en el límite: $${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

Existen muchas otras aproximaciones analíticas y suaves a la función escalonada. ^[1] Entre las posibilidades se encuentran: $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$

Estos límites se cumplen puntualmente y en el sentido de distribuciones . Sin embargo, en general, la convergencia puntual no implica necesariamente convergencia distribucional, y viceversa, la convergencia distribucional no implica necesariamente convergencia puntual. (Sin embargo, si todos los miembros de una secuencia de funciones convergentes puntuales están uniformemente acotados por alguna función "buena", entonces la convergencia se cumple también en el sentido de distribuciones ).

En general, cualquier función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad continua que alcanza su punto máximo en torno a cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como aproximación, en el límite a medida que la varianza se acerca a cero. Por ejemplo, las tres aproximaciones anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad comunes: la logística , la distribución de Cauchy y la distribución normal , respectivamente.

Se pueden realizar aproximaciones a la función escalonada de Heaviside a través de una función de transición suave como : ${\displaystyle 1\leq m\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

A menudo es útil una representación integral de la función escalonada de Heaviside: $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}}$$

donde la segunda representación es fácil de deducir de la primera, dado que la función escalonada es real y por tanto es su propio conjugado complejo.

Dado que H se utiliza habitualmente en la integración, y el valor de una función en un único punto no afecta a su integral, rara vez importa qué valor particular se elige de H (0) . De hecho, cuando H se considera como una distribución o un elemento de L ^∞ (véase el espacio L ^p ) ni siquiera tiene sentido hablar de un valor en cero, ya que tales objetos solo se definen en casi todas partes . Si se utiliza alguna aproximación analítica (como en los ejemplos anteriores), a menudo se utiliza el límite relevante en cero.

Existen varias razones para elegir un valor determinado.

• H (0) = ⁠1/2⁠ se utiliza a menudo ya que entonces el gráfico tiene simetría rotacional; dicho de otra manera, H − ⁠1/2⁠ es entonces una función impar . En este caso la siguiente relación con la función signo se cumple para todo x :$${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$
• H (0) = 1 se utiliza cuando H debe ser continua por la derecha . Por ejemplo, las funciones de distribución acumulativa suelen considerarse continuas por la derecha, al igual que las funciones integradas en la integración de Lebesgue-Stieltjes . En este caso, H es la función indicadora de unintervalo semiinfinito cerrado : La distribución de probabilidad correspondiente es la distribución degenerada .$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$
• H (0) = 0 se utiliza cuando H debe ser continua por la izquierda . En este caso, H es una función indicadora de unintervalo semiinfinito abierto :$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$$
• En contextos de análisis funcional de optimización y teoría de juegos, suele ser útil definir la función de Heaviside como una función de valor conjunto para preservar la continuidad de las funciones límite y asegurar la existencia de ciertas soluciones. En estos casos, la función de Heaviside devuelve un intervalo completo de posibles soluciones, H (0) = [0,1] .

Una forma alternativa del paso unitario, definida en cambio como una función (es decir, tomando una variable discreta n ), es: ${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$

o utilizando la convención de medio máximo: ^[2]

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$

donde n es un entero . Si n es un entero, entonces n < 0 debe implicar que n ≤ −1 , mientras que n > 0 debe implicar que la función alcanza la unidad en n = 1. Por lo tanto, la "función escalonada" exhibe un comportamiento de tipo rampa sobre el dominio de [−1, 1] y no puede ser auténticamente una función escalonada, utilizando la convención de máximo medio.

A diferencia del caso continuo, la definición de H [0] es significativa.

El impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del paso de tiempo discreto

$${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$

Esta función es la suma acumulativa del delta de Kronecker :

$${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]}$$

dónde

$${\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$$

es la función de impulso unitario discreto .

La función rampa es una antiderivada de la función escalón de Heaviside: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$

La derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside es la función delta de Dirac : $${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

La transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside es una distribución. Si utilizamos una elección de constantes para la definición de la transformada de Fourier, tenemos $${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$

Aquí pv ⁠1/s⁠ es la distribución que lleva una función de prueba φ al valor principal de Cauchy de. El límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de distribuciones (templadas). ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$

La transformada de Laplace de la función escalonada de Heaviside es una función meromórfica . Utilizando la transformada unilateral de Laplace tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

Cuando se utiliza la transformada bilateral, la integral se puede dividir en dos partes y el resultado será el mismo.

• Biblioteca digital de funciones matemáticas, NIST, [1].
• Berg, Ernst Julius (1936). "Función unitaria". Cálculo operacional de Heaviside aplicado a la ingeniería y la física . McGraw-Hill Education . pág. 5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace y la integral de inversión". Universidad de Denver .
• Davies, Brian (2002). "Función escalonada de Heaviside". Transformadas integrales y sus aplicaciones (3.ª ed.). Springer. pág. 28.
• Duff, George FD ; Naylor, D. (1966). "Función unitaria de Heaviside". Ecuaciones diferenciales de matemáticas aplicadas . John Wiley & Sons . pág. 42.