función por partes

En matemáticas , una función definida a trozos (también llamada función híbrida o función definida por casos ) es una función cuyo dominio se divide en varios intervalos ("subdominios") en los que la función puede definirse de forma diferente. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} La definición a trozos es, en realidad, una forma de especificar la función, más que una característica de la función resultante en sí, ya que toda función cuyo dominio contiene al menos dos puntos puede reescribirse como una función definida a trozos. Los tres primeros párrafos de este artículo solo tratan este primer significado de "a trozos".

Términos como lineal a trozos , suave a trozos , continuo a trozos y otros también son muy comunes. El significado de que una función sea a trozos${\displaystyle P}$, para una propiedad${\displaystyle P}$, es aproximadamente que el dominio de la función se puede particionar en partes en las que la propiedad${\displaystyle P}$se mantiene, pero este término es usado de manera ligeramente diferente por distintos autores. ^{[ 4 ] [ 5 ]} A diferencia del primer significado, esta es una propiedad de la función misma y no solo una forma de especificarla. A veces el término se usa en un sentido más global que involucra triangulaciones; véase Variedad lineal por partes .

Las funciones por partes se pueden definir utilizando la notación funcional común , donde el cuerpo de la función es una matriz de funciones y subdominios asociados. Un punto y coma o una coma pueden seguir a las columnas de subfunción o subdominio. ^{[ 2 ]} El${\displaystyle {\text{if}}}$o${\displaystyle {\text{for}}}$rara vez se omite al comienzo de la columna derecha. ^{[ 2 ]}

Los subdominios juntos deben cubrir todo el dominio ; a veces también se requiere que sean disjuntos dos a dos, es decir, que formen una partición del dominio. ^{[ 6 ]} Esto es suficiente para que una función esté "definida por casos", pero para que la función global sea "por partes", los subdominios normalmente deben ser intervalos no vacíos (algunos pueden ser intervalos degenerados, es decir, puntos únicos o intervalos no acotados) y a menudo no se permite que tengan infinitos subdominios en ningún intervalo acotado. Esto significa que las funciones con dominios acotados solo tendrán un número finito de subdominios, mientras que las funciones con dominios no acotados pueden tener infinitos subdominios, siempre que estén adecuadamente distribuidos.

Como ejemplo, consideremos la definición por partes de la función de valor absoluto : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$ Para todos los valores de${\displaystyle x}$menor que cero, la primera subfunción (${\displaystyle -x}$) se utiliza, que niega el signo del valor de entrada, haciendo que los números negativos sean positivos. Para todos los valores de${\displaystyle x}$mayor o igual que cero, la segunda subfunción (${\displaystyle x}$) se utiliza, que se evalúa trivialmente al propio valor de entrada.

La siguiente tabla documenta la función de valor absoluto en ciertos valores de${\displaystyle x}$:

Para evaluar una función definida por partes con un valor de entrada dado, es necesario elegir el subdominio apropiado para seleccionar la subfunción correcta y producir el valor de salida correcto.

• Una función escalonada o función constante por partes, compuesta por subfunciones constantes.
• Función lineal por partes , compuesta por subfunciones lineales.
• Función suave por partes, compuesta por subfunciones suaves.
• Ley de potencia rota , una función compuesta por subfunciones de ley de potencia.
• Spline , una función compuesta por subfunciones polinómicas, a menudo restringida para ser suave en las uniones entre piezas.
  • B-spline
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$y algunas otras funciones Bump comunes . Estas son infinitamente diferenciables, pero la analiticidad se cumple solo por partes.

Una función definida por partes es continua en un intervalo dado de su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:

• sus subfunciones son continuas en los intervalos correspondientes (subdominios),
• No existe ninguna discontinuidad en un punto final de ningún subdominio dentro de ese intervalo.

La función representada, por ejemplo, es continua a trozos en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio, ya que contiene una discontinuidad de salto en${\displaystyle x_{0}}$El círculo relleno indica que el valor de la subfunción derecha se utiliza en esta posición.

Para que una función definida por partes sea diferenciable en un intervalo dado de su dominio, deben cumplirse las siguientes condiciones, además de las de continuidad mencionadas anteriormente:

• sus subfunciones son diferenciables en los intervalos abiertos correspondientes,
• Las derivadas unilaterales existen en todos los puntos extremos de los intervalos,
• En los puntos donde dos subintervalos se tocan, las derivadas unilaterales correspondientes de los dos subintervalos vecinos coinciden. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

En el análisis matemático aplicado, se ha encontrado que las funciones "regulares por partes" son consistentes con muchos modelos del sistema visual humano , donde las imágenes se perciben en una primera etapa como compuestas de regiones suaves separadas por bordes (como en una caricatura ); ^{[ 10 ]} una función tipo caricatura es una función C ² , suave excepto por la existencia de curvas de discontinuidad. ^{[ 11 ]} En particular, los shearlets se han utilizado como un sistema de representación para proporcionar aproximaciones dispersas de esta clase de modelos en 2D y 3D.

Las funciones definidas por partes también se utilizan comúnmente para la interpolación, como en la interpolación del vecino más cercano .

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