Shearlet

En el análisis matemático aplicado, los shearlets son un marco multiescala que permite la codificación eficiente de características anisotrópicas en clases de problemas multivariados . Originalmente, los shearlets se introdujeron en 2006 ^{[ 1 ]} para el análisis y la aproximación dispersa de funciones ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$Son una extensión natural de las ondículas , para dar cabida al hecho de que las funciones multivariadas suelen estar regidas por características anisotrópicas como los bordes en las imágenes, ya que las ondículas, como objetos isotrópicos, no son capaces de capturar tales fenómenos.

Los shearlets se construyen mediante escalado parabólico , cizallamiento y traslación aplicados a unas pocas funciones generadoras . A escalas finas, se sustentan esencialmente dentro de crestas delgadas y direccionales que siguen la ley de escalado parabólico, que se lee longitud² ≈ ancho . De forma similar a las wavelets, los shearlets surgen del grupo afín y permiten un tratamiento unificado del continuo y la situación digital que conduce a implementaciones fieles. Aunque no constituyen una base ortonormal para${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$, aún forman un marco que permite expansiones estables de funciones arbitrarias${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$.

Una de las propiedades más importantes de los shearlets es su capacidad para proporcionar aproximaciones óptimamente dispersas (en el sentido de optimalidad en ^{[ 2 ]} ) para funciones de tipo caricatura.${\displaystyle f}$En las ciencias de la imagen, las funciones tipo caricatura sirven como modelo para características anisotrópicas y se admiten de forma compacta en${\displaystyle [0,1]^{2}}$mientras se está${\displaystyle C^{2}}$aparte de un sistema cerrado por partes${\displaystyle C^{2}}$curva singular con curvatura acotada. La tasa de decaimiento de la${\displaystyle L^{2}}$-error del${\displaystyle N}$Aproximación de shearlet de -términos obtenida al tomar la${\displaystyle N}$Los coeficientes más grandes de la expansión de shearlet son de hecho óptimos hasta un factor logarítmico: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}$

donde la constante${\displaystyle C}$depende únicamente de la curvatura máxima de la curva de singularidad y de las magnitudes máximas de${\displaystyle f}$,${\displaystyle f'}$y${\displaystyle f''.}$Esta tasa de aproximación mejora significativamente el mejor${\displaystyle N}$-tasa de aproximación de términos de ondículas que proporciona únicamente${\displaystyle O(N^{-1})}$para dicha clase de funciones.

Los shearlets son hasta la fecha el único sistema de representación direccional que proporciona una aproximación dispersa de características anisotrópicas al tiempo que ofrece un tratamiento unificado del continuo y el ámbito digital que permite una implementación fiel. Extensiones de los sistemas shearlet a${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}$También están disponibles. Una presentación completa de la teoría y las aplicaciones de los shearlets se puede encontrar en ^{[ 5 ] .}

Soporte de frecuencia trapezoidal del shearlet clásico.

Teselado de frecuencias del sistema clásico de shearlets (discreto).

Dejar${\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$sea ​​una función que satisfaga la condición discreta de Calderón , es decir,

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_{1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{para ae }}\xi \in \mathbb {R} ,}$

con${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],}$ dónde${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}}$denota la transformada de Fourier de${\displaystyle \psi _{1}.}$Por ejemplo, uno puede elegir${\displaystyle \psi _{1}}$ser una ondícula de Meyer . Además, sea${\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ser tal que${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}$y

${\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left[-1,1\right].}$

Normalmente se elige${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}}$para que sea una función de baches suaves . Entonces${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$dado por

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}$

Se denomina shearlet clásico . Se puede demostrar que el sistema de shearlet discreto correspondiente${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$constituye un marco Parseval para${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$que consta de funciones de ancho de banda limitado . ^{[ 5 ]}

Otro ejemplo son los sistemas de shearlets soportados de forma compacta , donde una función soportada de forma compacta${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$se puede elegir de modo que${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$forma un marco para${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$. ^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} En este caso, todos los elementos shearlet en${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$están soportados de forma compacta, lo que proporciona una localización espacial superior en comparación con los shearlets clásicos, que tienen un ancho de banda limitado. Aunque un sistema de shearlets soportado de forma compacta generalmente no forma un marco de Parseval, cualquier función${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$puede representarse mediante la expansión de shearlet debido a su propiedad de marco.

Una desventaja de los shearlets definidos como se indicó anteriormente es el sesgo direccional de los elementos shearlet asociado con grandes parámetros de corte. Este efecto ya es reconocible en el teselado de frecuencia de los shearlets clásicos (ver Figura en la Sección #Ejemplos ), donde el soporte de frecuencia de un shearlet se alinea cada vez más a lo largo de la${\displaystyle \xi _{2}}$eje como parámetro de corte${\displaystyle s}$va al infinito. Esto causa serios problemas al analizar una función cuya transformada de Fourier se concentra alrededor del${\displaystyle \xi _{2}}$-eje.

Para abordar este problema, el dominio de la frecuencia se divide en una parte de baja frecuencia y dos regiones cónicas (véase la figura):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}$

El sistema de shearlets discretos adaptado al cono asociado consta de tres partes, cada una correspondiente a uno de estos dominios de frecuencia. Se genera mediante tres funciones.${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$y un factor de muestreo de red${\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los sistemas${\displaystyle \Psi (\psi )}$y${\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}$básicamente difieren en los roles invertidos de${\displaystyle x_{1}}$y${\displaystyle x_{2}}$Por lo tanto, corresponden a las regiones cónicas.${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}$y${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}$, respectivamente. Finalmente, la función de escala${\displaystyle \phi }$está asociado con la parte de baja frecuencia${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

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