Ondícula de Meyer

La ondícula de Meyer es una ondícula ortogonal propuesta por Yves Meyer . ^{[ 1 ]} Como un tipo de ondícula continua , se ha aplicado en varios casos, como en filtros adaptativos , ^{[ 2 ]} campos aleatorios fractales , ^{[ 3 ]} y clasificación de fallas múltiples. ^{[ 4 ]}

La ondícula de Meyer es infinitamente diferenciable con soporte infinito y se define en el dominio de la frecuencia en términos de función${\displaystyle \nu }$como

${\displaystyle \Psi (\omega ):={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{2\pi }}-1\right)\right)e^{j\omega /2}&{\text{si }}2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{4\pi }}-1\right)\right)e^{j\omega /2}&{\text{si }}4\pi /3<|\omega |<8\pi /3,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle \nu (x):={\begin{cases}0&{\text{si }}x<0,\\x&{\text{si }}0<x<1,\\1&{\text{si }}x>1.\end{cases}}}$

Hay muchas formas diferentes de definir esta función auxiliar , que produce variantes de la ondícula de Meyer. Por ejemplo, otra implementación estándar adopta

${\displaystyle \nu (x):={\begin{cases}x^{4}(35-84x+70x^{2}-20x^{3})&{\text{si }}0<x<1,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

La función de escala de Meyer viene dada por

${\displaystyle \Phi (\omega ):={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}&{\text{si }}|\omega |<2\pi /3,\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}\nu \left({\frac {3|\omega |}{2\pi }}-1\right)\right)&{\text{si }}2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

En el dominio del tiempo , la forma de onda de la ondícula madre de Meyer tiene la forma que se muestra en la siguiente figura:

Valenzuela y de Oliveira ^{[ 5 ]} dan las expresiones explícitas de las funciones de escala y de ondícula de Meyer:

${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3\pi }}&t=0,\\{\frac {\sin({\frac {2\pi }{3}}t)+{\frac {4}{3}}t\cos({\frac {4\pi }{3}}t)}{\pi t-{\frac {16\pi }{9}}t^{3}}}&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \psi (t)=\psi _{1}(t)+\psi _{2}(t),}$

dónde

${\displaystyle \psi _{1}(t)={\frac {{\frac {4}{3\pi }}(t-{\frac {1}{2}})\cos[{\frac {2\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]-{\frac {1}{\pi }}\sin[{\frac {4\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]}{(t-{\frac {1}{2}})-{\frac {16}{9}}(t-{\frac {1}{2}})^{3}}},}$

${\displaystyle \psi _{2}(t)={\frac {{\frac {8}{3\pi }}(t-{\frac {1}{2}})\cos[{\frac {8\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]+{\frac {1}{\pi }}\sin[{\frac {4\pi }{3}}(t-{\frac {1}{2}})]}{(t-{\frac {1}{2}})-{\frac {64}{9}}(t-{\frac {1}{2}})^{3}}}.}$

• Daubechies, Ingrid (septiembre de 1992). Diez conferencias sobre ondículas (serie de conferencias CBMS-NSF en matemáticas aplicadas) (  ed. SIAM). Springer-Verlag. págs. 117-119, 137-138 , 152-155 . ISBN  978-0-89871-274-2.

• caja de herramientas de ondículas
• Implementación en Matlab