Filtro adaptativo

Un filtro adaptativo es un sistema con un filtro lineal cuya función de transferencia está controlada por parámetros variables y que permite ajustar dichos parámetros mediante un algoritmo de optimización . Debido a la complejidad de estos algoritmos, casi todos los filtros adaptativos son digitales . Los filtros adaptativos son necesarios en algunas aplicaciones porque ciertos parámetros de la operación de procesamiento deseada (por ejemplo, la ubicación de las superficies reflectantes en un espacio reverberante ) se desconocen de antemano o están sujetos a cambios. El filtro adaptativo de lazo cerrado utiliza retroalimentación, en forma de señal de error, para refinar su función de transferencia.

En términos generales, el proceso adaptativo de bucle cerrado implica el uso de una función de costo , que constituye un criterio para el rendimiento óptimo del filtro, para alimentar un algoritmo que determina cómo modificar la función de transferencia del filtro para minimizar el costo en la siguiente iteración. La función de costo más común es el error cuadrático medio de la señal.

A medida que ha aumentado la potencia de los procesadores de señales digitales , los filtros adaptativos se han vuelto mucho más comunes y ahora se utilizan de forma rutinaria en dispositivos como teléfonos móviles y otros dispositivos de comunicación, videocámaras y cámaras digitales, y equipos de monitorización médica.

El registro de los latidos del corazón (un electrocardiograma ) puede verse afectado por el ruido de la red eléctrica . La frecuencia exacta de la corriente y sus armónicos pueden variar de un momento a otro.

Una forma de eliminar el ruido es filtrar la señal con un filtro de muesca a la frecuencia de la red eléctrica y sus proximidades, pero esto podría degradar excesivamente la calidad del ECG, ya que es probable que el latido cardíaco también tenga componentes de frecuencia en el rango rechazado.

Para evitar esta posible pérdida de información, se podría utilizar un filtro adaptativo. Este filtro recibiría información tanto del paciente como de la red eléctrica y, por lo tanto, podría rastrear la frecuencia real del ruido a medida que fluctúa y restarlo de la grabación. Esta técnica adaptativa generalmente permite un filtro con un rango de rechazo menor, lo que significa que, en este caso, la calidad de la señal de salida es más precisa para fines médicos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La idea detrás de un filtro adaptativo de lazo cerrado es que un filtro variable se ajusta hasta que el error (la diferencia entre la salida del filtro y la señal deseada) se minimiza. El filtro de mínimos cuadrados (LMS) y el filtro de mínimos cuadrados recursivos (RLS) son tipos de filtros adaptativos.

El filtro adaptativo recibe dos señales de entrada: y , que a veces se denominan entrada primaria y entrada de referencia , respectivamente. ^{[ 3 ]} El algoritmo de adaptación intenta filtrar la entrada de referencia para obtener una réplica de la entrada deseada, minimizando la señal residual, . Cuando la adaptación es exitosa, la salida del filtro es, en efecto, una estimación de la señal deseada. ${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle d_{k}}$que incluye la señal deseada más la interferencia no deseada y

${\displaystyle x_{k}}$que incluye las señales que están correlacionadas con algunas de las interferencias no deseadas en .${\displaystyle d_{k}}$

k representa el número de muestra discreta.

El filtro se controla mediante un conjunto de L+1 coeficientes o ponderaciones.

${\displaystyle \mathbf {W} _{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\,...,\,w_{Lk}\right]^{T}}$representa el conjunto o vector de pesos que controlan el filtro en el instante de muestreo k.

donde se refiere al peso 'en el tiempo k'.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta W} _ {k}}$representa el cambio en los pesos que se produce como resultado de los ajustes calculados en el instante de muestreo k.

Estos cambios se aplicarán después del tiempo de muestreo k y antes de que se utilicen en el tiempo de muestreo k+1.

La salida suele ser , pero podría ser , o incluso podrían ser los coeficientes del filtro. ^{[ 4 ]} (Widrow) ${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

Las señales de entrada se definen de la siguiente manera:

${\ Displaystyle d_ {k} = g_ {k} + u_ {k} + v_ {k}}$

${\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'}}$

dónde:

g = la señal deseada,

g ' = una señal que está correlacionada con la señal deseada g ,

u = una señal no deseada que se agrega a g , pero que no está correlacionada con g o g '.

u ' = una señal que está correlacionada con la señal no deseada u , pero no correlacionada con g o g ' ,

v = una señal no deseada (típicamente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g ' , u , u ' o v ' ,

v ' = una señal no deseada (típicamente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g ' , u , u ' o v .

Las señales de salida se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle y_{k}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _ {k} = d_ {k} -y_ {k}}$.

dónde:

${\displaystyle {\hat {g}}}$= la salida del filtro si la entrada fuera solo g ' ,

${\displaystyle {\hat {u}}}$= la salida del filtro si la entrada fuera solo u ' ,

${\displaystyle {\hat {v}}}$= la salida del filtro si la entrada fuera solo v ' .

Si el filtro variable tiene una estructura de respuesta de impulso finito (FIR) con línea de retardo con derivaciones , entonces la respuesta de impulso es igual a los coeficientes del filtro. La salida del filtro viene dada por

${\displaystyle y_{k}=\sum __{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(kl)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

donde se refiere al peso 'en el tiempo k'.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

En el caso ideal , todas las señales no deseadas en están representadas por . consiste enteramente en una señal correlacionada con la señal no deseada en . ${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle \ x_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$

La salida del filtro variable en el caso ideal es

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$.

La señal de error o función de costo es la diferencia entre y${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. La señal deseada g _k pasa sin ser modificada.

La señal de error se minimiza en el sentido cuadrático medio cuando se minimiza. En otras palabras, es la mejor estimación cuadrática media de . En el caso ideal, y , y todo lo que queda después de la resta es , que es la señal deseada sin cambios con todas las señales no deseadas eliminadas. ${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$${\displaystyle {\sombrero {u}}_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$${\displaystyle \epsilon _ {k} = g_ {k}}$${\displaystyle g}$

En algunas situaciones, la entrada de referencia incluye componentes de la señal deseada. Esto significa que g' ≠ 0. ${\displaystyle x_{k}}$

En este caso no es posible la cancelación perfecta de la interferencia no deseada, pero sí es posible mejorar la relación señal/interferencia. La salida será

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$La señal deseada se modificará (generalmente se disminuirá).

La relación señal de salida a interferencia tiene una fórmula simple conocida como inversión de potencia .

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

dónde

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$= relación señal de salida/interferencia.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$= relación señal de referencia a interferencia.

${\displaystyle z\ }$= frecuencia en el dominio z.

Esta fórmula significa que la relación señal de salida a interferencia en una frecuencia particular es el recíproco de la relación señal de referencia a interferencia. ^{[ 5 ]}

Ejemplo: Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para autos. Antes de llegar a la ventanilla, los clientes hacen su pedido hablando a un micrófono. El micrófono también capta el ruido del motor y del entorno. Este micrófono proporciona la señal principal. La potencia de la señal de la voz del cliente y la potencia del ruido del motor son iguales. A los empleados del restaurante les resulta difícil entender al cliente. Para reducir la cantidad de interferencia en el micrófono principal, se coloca un segundo micrófono donde se pretende captar los sonidos del motor. Este también capta la voz del cliente. Este micrófono es la fuente de la señal de referencia. En este caso, el ruido del motor es 50 veces más potente que la voz del cliente. Una vez que el cancelador converge, la relación señal principal/interferencia mejora de 1:1 a 50:1.

El combinador lineal adaptativo (ALC) se asemeja al filtro FIR adaptativo de línea de retardo con derivaciones, con la diferencia de que no existe una relación predefinida entre los valores X. Si los valores X provinieran de las salidas de una línea de retardo con derivaciones, la combinación de esta y el ALC constituiría un filtro adaptativo. Sin embargo, los valores X podrían ser los de una matriz de píxeles o las salidas de múltiples líneas de retardo con derivaciones. El ALC se utiliza como conformador de haz adaptativo para matrices de hidrófonos o antenas.

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

donde se refiere al peso 'en el tiempo k'.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

Si el filtro variable tiene una estructura FIR de línea de retardo con derivaciones, el algoritmo de actualización LMS es especialmente sencillo. Normalmente, después de cada muestra, los coeficientes del filtro FIR se ajustan de la siguiente manera: ^{[ 6 ]}

para${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{kl}}$

μ se denomina factor de convergencia .

El algoritmo LMS no requiere que los valores X tengan ninguna relación particular; por lo tanto, puede utilizarse para adaptar tanto un combinador lineal como un filtro FIR. En este caso, la fórmula de actualización se escribe como:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

El algoritmo LMS modifica cada peso en cada instante k. La dirección de la modificación es tal que, de haberse aplicado en el instante k, habría disminuido el error. La magnitud de la modificación depende de μ, del valor X asociado y del error en el instante k. Los pesos que más contribuyen a la salida son los que más se modifican. Si el error es cero, no se modifican los pesos. Si el valor X asociado es cero, modificar el peso no tiene efecto, por lo que no se modifica. ${\displaystyle y_{k}}$

μ controla la velocidad y la eficacia con que el algoritmo converge hacia los coeficientes óptimos del filtro. Si μ es demasiado grande, el algoritmo no convergerá. Si μ es demasiado pequeño, converge lentamente y puede que no sea capaz de adaptarse a las condiciones cambiantes. Si μ es grande, pero no tanto como para impedir la convergencia, el algoritmo alcanza el estado estacionario rápidamente, pero sobrepasa continuamente el vector de pesos óptimo. En ocasiones, se establece un valor alto para μ inicialmente, para lograr una convergencia rápida, y luego se reduce para minimizar el sobrepaso.

Widrow y Stearns afirman en 1985 que no tienen conocimiento de una prueba de que el algoritmo LMS convergerá en todos los casos. ^{[ 7 ]}

Sin embargo, bajo ciertas suposiciones sobre estacionariedad e independencia, se puede demostrar que el algoritmo convergerá si

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _ {l=0}^{L}\sigma _ {l}^{2}}$= suma de todas las potencias de entrada

${\displaystyle \sigma _{l}}$es el valor RMS de la entrada '-ésima'${\displaystyle l}$

En el caso del filtro de línea de retardo con derivaciones, cada entrada tiene el mismo valor RMS porque son simplemente los mismos valores retardados. En este caso, la potencia total es

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{0}}$es el valor RMS de , el flujo de entrada. ^{[ 7 ]}${\displaystyle x_{k}}$

Esto da como resultado un algoritmo LMS normalizado:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{kl}}$en cuyo caso el criterio de convergencia se convierte en: .${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$

El objetivo de los filtros no lineales es superar las limitaciones de los modelos lineales. Existen algunos enfoques comúnmente utilizados: Volterra LMS, filtro adaptativo de kernel , filtro adaptativo de spline ^{[ 8 ]} y filtro adaptativo de Urysohn. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Muchos autores ^{[ 11 ]} también incluyen redes neuronales en esta lista. La idea general detrás de Volterra LMS y Kernel LMS es reemplazar muestras de datos por diferentes expresiones algebraicas no lineales. Para Volterra LMS, esta expresión es la serie de Volterra . En el filtro adaptativo de spline, el modelo es una cascada de bloques dinámicos lineales y no linealidad estática, que se aproxima mediante splines. En el filtro adaptativo de Urysohn, los términos lineales en un modelo

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\ x_{ij}}$

se reemplazan por funciones lineales a trozos

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

que se identifican a partir de muestras de datos.

• Cancelación de ruido adaptativa
• Control del ruido acústico
• Predicción de señales
• Cancelación de retroalimentación adaptativa
• Cancelación de eco

• filtro de mínimos cuadrados
• Filtro recursivo de mínimos cuadrados

• Filtros adaptativos 2D
• Filtro (procesamiento de señales)
• filtro de Kalman
• Filtro adaptativo de núcleo
• Predicción lineal
• Estimador MMSE
• Filtro de Wiener
• ecuación de Wiener-Hopf

• Hayes, Monson H. (1996). Procesamiento y modelado estadístico de señales digitales . Wiley. ISBN 978-0-471-59431-4.
• Haykin, Simon (2002). Teoría de filtros adaptativos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-048434-5.
• Widrow, Bernard; Stearns, Samuel D. (1985). Procesamiento adaptativo de señales . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-004029-9.