Predicción lineal

La predicción lineal es una operación matemática en la que los valores futuros de una señal de tiempo discreto se estiman como una función lineal de muestras anteriores.

En el procesamiento digital de señales , la predicción lineal se suele denominar codificación predictiva lineal (LPC) y, por lo tanto, puede considerarse un subconjunto de la teoría de filtros . En el análisis de sistemas , un subcampo de las matemáticas , la predicción lineal puede considerarse parte del modelado matemático o la optimización .

La representación más común es

${\displaystyle {\widehat {x}}(n)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(ni)\,}$

donde es el valor de la señal predicha, los valores observados previamente, con , y los coeficientes del predictor. El error generado por esta estimación es ${\displaystyle {\widehat {x}}(n)}$${\displaystyle x(ni)}$${\displaystyle p\leq n}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)\,}$

¿Dónde está el verdadero valor de la señal? ${\displaystyle x(n)}$

Estas ecuaciones son válidas para todo tipo de predicción lineal (unidimensional). Las diferencias radican en la forma en que se eligen los coeficientes predictores. ${\displaystyle a_{i}}$

Para señales multidimensionales, la métrica de error se define a menudo como

${\displaystyle e(n)=\|x(n)-{\widehat {x}}(n)\|\,}$

donde es una norma vectorial elegida adecuadamente . Predicciones como se utilizan habitualmente en filtros de Kalman y suavizadores para estimar los valores de señal actuales y pasados, respectivamente, a partir de mediciones ruidosas. ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle {\widehat {x}}(n)}$

La opción más común en la optimización de parámetros es el criterio de raíz cuadrática media , también llamado criterio de autocorrelación . En este método minimizamos el valor esperado del error cuadrático , lo que da como resultado la ecuación ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle E[e^{2}(n)]}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}R(ji)=R(j),}$

para 1 ≤ j ≤ p , donde R es la autocorrelación de la señal x _n , definida como

${\displaystyle \ R(i)=E\{x(n)x(ni)\}\,}$,

y E es el valor esperado . En el caso multidimensional, esto corresponde a minimizar _la norma L2 .

Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones normales o ecuaciones de Yule-Walker . En forma matricial, las ecuaciones se pueden escribir de forma equivalente como:

${\displaystyle \mathbf {RA} =\mathbf {r} }$

donde la matriz de autocorrelación es una matriz de Toeplitz simétrica con elementos , el vector es el vector de autocorrelación y , el vector de parámetros. ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle r_{ij}=R(ij),0\leq i,j<p}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r_{j}=R(j),0<j\leq p}$${\displaystyle \mathbf {A} =[a_{1},a_{2},\,\cdots \,,a_{p-1},a_{p}]}$

Otro enfoque, más general, consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores definidos en la forma

${\displaystyle e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)=x(n)-\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(ni)=-\sum _{i=0}^{p}a_{i}x(ni)}$

donde el problema de optimización que busca sobre todos ahora debe estar restringido con . ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{0}=-1}$

Por otro lado, si el error cuadrático medio de predicción se restringe a la unidad y la ecuación de error de predicción se incluye además de las ecuaciones normales, el conjunto aumentado de ecuaciones se obtiene como

${\displaystyle \ \mathbf {RA} =[1,0,...,0]^{\mathrm {T} }}$

donde el índice varía de 0 a , y es una matriz. ${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle (p+1)\times (p+1)}$

La especificación de los parámetros del predictor lineal es un tema extenso y se han propuesto numerosos enfoques. De hecho, el método de autocorrelación es el más común y se utiliza, por ejemplo, para la codificación de voz en el estándar GSM .

La solución de la ecuación matricial es un proceso computacionalmente costoso. La eliminación gaussiana para la inversión de matrices es probablemente la solución más antigua ^, pero este enfoque no aprovecha eficientemente la simetría de . Un algoritmo más rápido es la recursión de Levinson , propuesta por Norman Levinson en 1947, que calcula recursivamente la solución, con un tiempo de ejecución de O( n² ) (frente a O( n³ ) para la eliminación gaussiana). ^{[ 1 ]} En particular, las ecuaciones de autocorrelación anteriores pueden resolverse de forma más eficiente mediante el algoritmo de Durbin ^{. [ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {RA} =\mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

En 1986, Philippe Delsarte y YV Genin propusieron una mejora a este algoritmo llamada recursión de Levinson dividida, que requiere aproximadamente la mitad del número de multiplicaciones y divisiones. ^{[ 3 ]} Utiliza una propiedad simétrica especial de los vectores de parámetros en niveles de recursión subsiguientes. Es decir, los cálculos para el predictor óptimo que contiene términos utilizan cálculos similares para el predictor óptimo que contiene términos. ${\displaystyle p}$${\displaystyle p-1}$

Otra forma de identificar los parámetros del modelo es calcular iterativamente las estimaciones de estado utilizando filtros de Kalman y obteniendo estimaciones de máxima verosimilitud dentro de algoritmos de expectativa-maximización .

Para valores igualmente espaciados, una interpolación polinómica es una combinación lineal de los valores conocidos. Si se estima que la señal de tiempo discreto obedece a un polinomio de grado , entonces los coeficientes del predictor vienen dados por la fila correspondiente del triángulo de coeficientes de la transformada binomial. Esta estimación podría ser adecuada para una señal de variación lenta con poco ruido. Las predicciones para los primeros valores de son ${\displaystyle p-1,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p=1&:&{\widehat {x}}(n)=1x(n-1)\\p=2&:&{\widehat {x}}(n)=2x(n-1)-1x(n-2)\\p=3&:&{\widehat {x}}(n)=3x(n-1)-3x(n-2)+1x(n-3)\\p=4&:&{\widehat {x}}(n)=4x(n-1)-6x(n-2)+4x(n-3)-1x(n-4)\\\end{matriz}}}$

• Modelo autorregresivo
• Análisis predictivo lineal
• error cuadrático medio mínimo
• Intervalo de predicción
• Filtrado rasta

• Hayes, MH (1996). Procesamiento y modelado estadístico de señales digitales . Nueva York: J. Wiley & Sons. ISBN 978-0471594314.
• Levinson, N. (1947). "El criterio de error cuadrático medio (RMS) de Wiener en el diseño y predicción de filtros". Journal of Mathematics and Physics . 25 (4): 261– 278. doi : 10.1002/sapm1946251261 .
• Makhoul, J. (1975). "Predicción lineal: una revisión tutorial". Actas del IEEE . 63 (5): 561– 580. doi : 10.1109/PROC.1975.9792 .
• Yule, GU (1927). "Sobre un método para investigar periodicidades en series perturbadas, con especial referencia a los números de manchas solares de Wolfer" . Phil. Trans. Roy. Soc. A. 226 ( 636–646 ) : 267–298 . Bibcode : 1927RSPTA.226..267Y . doi : 10.1098/rsta.1927.0007 . JSTOR  91170 .

• PLP y RASTA (y MFCC, e inversión) en Matlab. Archivado el 22/11/2016 en Wayback Machine.