Filtro de Wiener

En el procesamiento de señales , el filtro de Wiener (llamado así en honor a Norbert Wiener ) es un filtro que se utiliza para producir una estimación de un proceso aleatorio deseado o de destino mediante el filtrado lineal invariante en el tiempo ( LTI ) de un proceso ruidoso observado, asumiendo espectros de señal y ruido estacionarios conocidos y ruido aditivo. El filtro de Wiener minimiza el error cuadrático medio entre el proceso aleatorio estimado y el proceso deseado. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Descripción

El objetivo del filtro de Wiener es calcular una estimación estadística de una señal desconocida utilizando una señal relacionada como entrada y filtrándola para obtener dicha estimación. Por ejemplo, la señal conocida podría consistir en una señal desconocida de interés que ha sido corrompida por ruido aditivo . El filtro de Wiener se puede utilizar para eliminar el ruido de la señal corrompida y así obtener una estimación de la señal subyacente de interés. El filtro de Wiener se basa en un enfoque estadístico , y una explicación más detallada de la teoría se presenta en el artículo sobre el estimador de mínimo error cuadrático medio (MMSE) .

Los filtros deterministas típicos se diseñan para una respuesta en frecuencia deseada . Sin embargo, el diseño del filtro de Wiener adopta un enfoque diferente. Se supone que se conocen las propiedades espectrales de la señal original y del ruido, y se busca un filtro lineal invariante en el tiempo cuya salida se aproxime lo más posible a la señal original. Los filtros de Wiener se caracterizan por lo siguiente: ^{[ 3 ]}

Suposición: la señal y el ruido (aditivo) son procesos estocásticos estacionarios con características espectrales conocidas o autocorrelación y correlación cruzada conocidas.
Requisito: el filtro debe ser físicamente realizable/ causal (este requisito puede omitirse, dando como resultado una solución no causal).
Criterio de rendimiento: error cuadrático medio mínimo (MMSE)

Este filtro se utiliza con frecuencia en el proceso de deconvolución ; para esta aplicación, consulte la deconvolución de Wiener .

Soluciones de filtros Wiener

Dejar $s(t+\alpha )$ ser una señal desconocida que debe estimarse a partir de una señal de medición $x(t)$ , dónde $\alpha$ es un parámetro ajustable. $\alpha >0$ se conoce como predicción, $\alpha =0$ se conoce como filtrado y $\alpha <0$ se conoce como suavizado (consulte el capítulo sobre filtrado de Wiener de ^{[ 3 ]} para obtener más detalles).

El problema del filtro de Wiener tiene soluciones para tres casos posibles: uno en el que se acepta un filtro no causal (que requiere una cantidad infinita de datos pasados y futuros), el caso en el que se desea un filtro causal (que utiliza una cantidad infinita de datos pasados) y el caso de respuesta de impulso finito (FIR), donde solo se utilizan los datos de entrada (es decir, el resultado o la salida no se realimentan al filtro como en el caso IIR). El primer caso es sencillo de resolver, pero no es adecuado para aplicaciones en tiempo real. El principal logro de Wiener fue resolver el caso en el que se requiere causalidad; Norman Levinson proporcionó la solución FIR en un apéndice del libro de Wiener.

Solución no causal

Para la estimación de $s(t+\alpha )$ de $x(t)$ , el filtro lineal invariante en el tiempo (LTI) óptimo (generalmente no causal) tiene respuesta en frecuencia $G(\omega )={\frac {S_{xs}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}\,e^{j\omega \alpha },$

dónde $S_{xs}(\omega )$ es la densidad espectral de potencia cruzada entre $x(t)$ y $s(t)$ , y $S_{x}(\omega )$ es la densidad espectral de potencia de $x(t)$ . ^{[ 4 ]}

Si $g(t)$ es la respuesta al impulso óptima, el error cuadrático medio mínimo se puede escribir como

$\operatorname {E} \{e^{2}(t)\}=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )\,R_{xs}(\tau +\alpha )\,d\tau ,$

dónde $R_{s}(\tau )$ es la función de autocorrelación de $s(t)$ y $R_{xs}(\tau )$ es la correlación cruzada entre $x(t)$ y $s(t)$ , p.ej

$R_{s}(\tau )=\operatorname {E} \{s(t)\,s^{*}(t-\tau )\},$

$R_{xs}(\tau )=\operatorname {E} \{x(t)\,s^{*}(t-\tau )\},$

con $^{*}$ que denota conjugación compleja. ^{[ 5 ]}

La respuesta impulsional $g(t)$ se obtiene como la transformada inversa de Fourier de $G(\omega )$ ^{[ 6 ]} .

interpretación de la contracción espectral

En el caso especial común en el que la medición es la señal corrompida por ruido aditivo, $x(t)=s(t)+n(t)$ , con $n$ no correlacionado con $s$ y $\alpha =0$ , el espectro cruzado y el espectro de entrada se simplifican a

S_{xs}(\omega )=S_{s}(\omega ),\qquad S_{x}(\omega )=S_{s}(\omega )+S_{n}(\omega ),

por lo que el filtro no causal se reduce a

G(\omega )={\frac {S_{s}(\omega )}{S_{s}(\omega )+S_{n}(\omega )}}.

Si el ruido es blanco con varianza $\sigma ^{2}$ , de modo que $S_{n}(\omega )=\sigma ^{2}$ , esto se convierte en

G(\omega )={\frac {S_{s}(\omega )}{S_{s}(\omega )+\sigma ^{2}}}.

Esta expresión tiene una interpretación natural como contracción por autovalor. Para un proceso estacionario , el operador de covarianza se diagonaliza mediante la base de Fourier, y la densidad espectral de potencia evaluada en una frecuencia dada es el autovalor correspondiente (en el caso discreto de longitud finita, la matriz de covarianza es de Toeplitz y se diagonaliza asintóticamente mediante la transformada discreta de Fourier , según el teorema de Szegő ). Escribiendo $\lambda$ Para el valor propio de la covarianza de la señal asociada con un componente de frecuencia dado, el filtro de Wiener multiplica ese componente de la observación por

{\frac {\lambda }{\lambda +\sigma ^{2}}}.

Cada componente se atenúa de acuerdo con su relación señal/ruido: componentes donde predomina la potencia de la señal ( $\lambda \gg \sigma ^{2}$ ) pasan casi sin cambios, mientras que los componentes dominados por el ruido ( $\lambda \ll \sigma ^{2}$ ) se suprimen hacia cero. El mismo factor de contracción surge en la regresión de cresta , donde las direcciones singulares de la matriz de diseño se escalan por $d_{i}^{2}/(d_{i}^{2}+\sigma ^{2})$ y en el estimador MMSE lineal de dimensión finita ${\hat {\mathbf {s} }}=C_{s}(C_{s}+\sigma ^{2}I)^{-1}\mathbf {x}$ , que actúa como $\lambda _{i}/(\lambda _{i}+\sigma ^{2})$ en la base propia de la covarianza de la señal $C_{s}$ .

Solución causal

G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},

dónde

$H(s)$ consta de la parte causal de ${\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}$ (es decir, aquella parte de esta fracción que tiene una solución de tiempo positivo bajo la transformada inversa de Laplace )
$S_{x}^{+}(s)$ es el componente causal de $S_{x}(s)$ (es decir, la transformada inversa de Laplace de $S_{x}^{+}(s)$ es distinto de cero solo para $t\geq 0$ )
$S_{x}^{-}(s)$ es el componente anticausal de $S_{x}(s)$ (es decir, la transformada inversa de Laplace de $S_{x}^{-}(s)$ es distinto de cero solo para $t<0$ )

Esta fórmula general es complicada y merece una explicación más detallada. Para escribir la solución $G(s)$ En un caso específico, se deben seguir estos pasos: ^{[ 7 ]}

Comencemos con el espectro $S_{x}(s)$ en forma racional y factorizarlo en componentes causales y anticausales: $S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)$ dónde $S_{x}^{+}$ contiene todos los ceros y polos en el semiplano izquierdo (LHP) y $S_{x}^{-}$ Contiene los ceros y polos en el semiplano derecho (SPD). Esto se denomina factorización de Wiener-Hopf .
Dividir $S_{x,s}(s)e^{\alpha s}$ por $S_{x}^{-}(s)$ y escribe el resultado como una expansión en fracciones parciales .
Seleccione únicamente aquellos términos de esta expansión que tengan polos en el LHP. Llame a estos términos $H(s)$ .
Dividir $H(s)$ por $S_{x}^{+}(s)$ El resultado es la función de transferencia del filtro deseada. $G(s)$ .

Filtro de Wiener de respuesta de impulso finito para series discretas

El filtro de Wiener de respuesta de impulso finito (FIR) causal , en lugar de utilizar una matriz de datos X y un vector de salida Y dados, encuentra ponderaciones óptimas para los coeficientes mediante el uso de las estadísticas de las señales de entrada y salida. Rellena la matriz de entrada X con estimaciones de la autocorrelación de la señal de entrada (T) y el vector de salida Y con estimaciones de la correlación cruzada entre las señales de salida y entrada (V).

Para derivar los coeficientes del filtro de Wiener, considere la señal w [ n ] que se alimenta a un filtro de Wiener de orden (número de tomas anteriores) N y con coeficientes $\{a_{0},\cdots ,a_{N}\}$ . La salida del filtro se denota como x [ n ] que viene dada por la expresión

x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i].

El error residual se denota por e [ n ] y se define como e [ n ] = x [ n ] − s [ n ] (véase el diagrama de bloques correspondiente ). El filtro de Wiener está diseñado para minimizar el error cuadrático medio ( criterio MMSE ), que se puede expresar de forma concisa como sigue:

a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],

dónde $E[\cdot ]$ denota el operador de esperanza. En el caso general, los coeficientes $a_{i}$ Puede ser compleja y puede derivarse para el caso en que w [ n ] y s [ n ] también sean complejos. Con una señal compleja, la matriz a resolver es una matriz de Toeplitz hermitiana , en lugar de una matriz de Toeplitz simétrica . Para simplificar, lo siguiente considera solo el caso en que todas estas cantidades son reales. El error cuadrático medio (ECM) puede reescribirse como:

{\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\right]\end{aligned}}

Para encontrar el vector $[a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]$ que minimiza la expresión anterior, calcula su derivada con respecto a cada $a_{i}$

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)w[n-i]\right]-2E[w[n-i]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[n-j]w[n-i]]a_{j}\right)-2E[w[n-i]s[n]]\end{aligned}}

Suponiendo que w [ n ] y s [ n ] son cada una estacionarias y conjuntamente estacionarias, las secuencias $R_{w}[m]$ y $R_{ws}[m]$ conocidas respectivamente como la autocorrelación de w [ n ] y la correlación cruzada entre w [ n ] y s [ n ] se pueden definir de la siguiente manera:

{\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}

Por lo tanto, la derivada del MSE puede reescribirse como:

{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.

Tenga en cuenta que es real $w[n]$ , la autocorrelación es simétrica: $R_{w}[j-i]=R_{w}[i-j]$ Si igualamos la derivada a cero, obtenemos:

\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.

que puede reescribirse (utilizando la propiedad de simetría anterior) en forma matricial.

\underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }

Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones de Wiener-Hopf . La matriz T que aparece en la ecuación es una matriz de Toeplitz simétrica . Bajo condiciones adecuadas en $R$ Se sabe que estas matrices son definidas positivas y, por lo tanto, no singulares, lo que proporciona una solución única para la determinación del vector de coeficientes del filtro de Wiener. $\mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v}$ Además, existe un algoritmo eficiente para resolver dichas ecuaciones de Wiener-Hopf, conocido como el algoritmo de Levinson-Durbin , por lo que no se requiere una inversión explícita de T.

En algunos artículos, la función de correlación cruzada se define de forma opuesta: $R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}$ Entonces, el $\mathbf {v}$ La matriz contendrá $R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]$ ; esto es solo una diferencia de notación.

Cualquiera que sea la notación que se utilice, tenga en cuenta que para los reales $w[n],s[n]$ : $R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]$

Relación con el filtro de mínimos cuadrados

La realización del filtro causal de Wiener se parece mucho a la solución de la estimación de mínimos cuadrados , excepto en el dominio del procesamiento de señales. La solución de mínimos cuadrados, para la matriz de entrada $\mathbf {X}$ y vector de salida $\mathbf {y}$ es

{\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.

El filtro FIR de Wiener está relacionado con el filtro de mínimos cuadrados , pero la minimización del criterio de error de este último no depende de correlaciones cruzadas ni autocorrelaciones. Su solución converge a la solución del filtro de Wiener.

señales complejas

Para señales complejas, la derivación del filtro de Wiener complejo se realiza minimizando $E\left[|e[n]|^{2}\right]$ = $E\left[e[n]e^{*}[n]\right]$ Esto implica calcular derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria de $a_{i}$ y exigiendo que ambos sean cero.

Las ecuaciones de Wiener-Hopf resultantes son:

\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.

que se puede reescribir en forma matricial:

\underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }

Tenga en cuenta que: ${\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}$

El vector de coeficientes de Wiener se calcula entonces de la siguiente manera: $\mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}$

Aplicaciones

El filtro de Wiener tiene diversas aplicaciones en el procesamiento de señales, el procesamiento de imágenes , ^{[ 8 ]} los sistemas de control y las comunicaciones digitales. Estas aplicaciones generalmente se dividen en cuatro categorías principales:

Imagen ruidosa de un astronauta

La imagen después de aplicar un filtro de Wiener (se recomienda la vista completa).

Por ejemplo, el filtro de Wiener se puede usar en el procesamiento de imágenes para eliminar el ruido de una fotografía. Por ejemplo, usando la función de Mathematica: WienerFilter[image,2]en la primera imagen de la derecha, se obtiene la imagen filtrada que aparece debajo.

Se utiliza habitualmente para eliminar el ruido de las señales de audio, especialmente del habla, como preprocesador antes del reconocimiento de voz .

Es utilizado por SVT-AV1 para la síntesis de granos de película . ^{[ 9 ]}

Historia

El filtro fue propuesto por Norbert Wiener durante la década de 1940 y publicado en 1949. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} El equivalente en tiempo discreto del trabajo de Wiener fue derivado independientemente por Andrey Kolmogorov y publicado en 1941. ^{[ 12 ]} Por lo tanto, la teoría se denomina a menudo teoría de filtrado de Wiener-Kolmogorov ( cf. Kriging ). El filtro de Wiener fue el primer filtro diseñado estadísticamente que se propuso y posteriormente dio lugar a muchos otros, incluido el filtro de Kalman .

Véase también

Referencias

↑ Plett, G.; Vetterli, M. "EE264: Lección 12 - Filtrado de Wiener" (PDF) . Universidad de Stanford . Consultado el 20 de marzo de 2025 .
↑ Oppenheim, AV; Verghese, GC "Señales, sistemas e inferencia, capítulo 11: filtrado de Wiener" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 20 de marzo de 2025 .
1 2 Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1996). Introducción a las señales aleatorias y al filtrado de Kalman aplicado (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12839-7.
↑ Kay, Steven M. (1993). Fundamentos del procesamiento estadístico de señales, Volumen I: Teoría de la estimación . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0133457117.
↑ Kailath, Thomas; Sayed, Ali H.; Hassibi, Babak (2000). Estimación lineal . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0130224644.
↑ Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Syed Hamid (1997). Señales y sistemas . Serie de procesamiento de señales de Prentice-Hall (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-814757-0.
↑ Welch, Lloyd R. "Teoría de Wiener-Hopf" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 20 de septiembre de 2006. Consultado el 25 de noviembre de 2006 .
↑ Boulfelfel, D.; Rangayyan, RM; Hahn, LJ; Kloiber, R. (1994). "Restauración tridimensional de imágenes de tomografía computarizada por emisión de fotón único". IEEE Transactions on Nuclear Science . 41 (5): 1746– 1754. Bibcode : 1994ITNS...41.1746B . doi : 10.1109/23.317385 . S2CID 33708058 .
↑ "Docs/Appendix-Film-Grain-Synthesis.md · master · Alliance for Open Media / SVT-AV1 · GitLab" . GitLab . 2025-03-21 . Consultado el 2025-06-24 .
↑ Wiener N: «Interpolación, extrapolación y suavizado de series temporales estacionarias», Informe de los Servicios 19, Proyecto de Investigación DIC-6037 MIT, febrero de 1942.
↑ Wiener, Norbert (1949). Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias: con aplicaciones de ingeniería . MIT Press . ISBN 9780262257190.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Kolmogorov AN: 'Secuencias estacionarias en el espacio de Hilbert', (en ruso) Bull. Moscow Univ. 1941 vol.2 no.6 1-40. Traducción al inglés en Kailath T. (ed.) Estimación lineal por mínimos cuadrados Dowden, Hutchinson & Ross 1977 ISBN 0-87933-098-8

Lecturas adicionales

Thomas Kailath , Ali H. Sayed y Babak Hassibi , Estimación lineal, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.

Enlaces externos

Función WienerFilter de Mathematica

[1] Plett, G.; Vetterli, M. "EE264: Lección 12 - Filtrado de Wiener" (PDF) . Universidad de Stanford . Consultado el 20 de marzo de 2025 .

[2] Oppenheim, AV; Verghese, GC "Señales, sistemas e inferencia, capítulo 11: filtrado de Wiener" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 20 de marzo de 2025 .

[Brown1996-3] 1 2 Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1996). Introducción a las señales aleatorias y al filtrado de Kalman aplicado (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12839-7.

[Kay1993-4] Kay, Steven M. (1993). Fundamentos del procesamiento estadístico de señales, Volumen I: Teoría de la estimación . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0133457117.

[Kailath2000-5] Kailath, Thomas; Sayed, Ali H.; Hassibi, Babak (2000). Estimación lineal . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0130224644.

[6] Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Syed Hamid (1997). Señales y sistemas . Serie de procesamiento de señales de Prentice-Hall (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-814757-0.

[7] Welch, Lloyd R. "Teoría de Wiener-Hopf" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 20 de septiembre de 2006. Consultado el 25 de noviembre de 2006 .

[8] Boulfelfel, D.; Rangayyan, RM; Hahn, LJ; Kloiber, R. (1994). "Restauración tridimensional de imágenes de tomografía computarizada por emisión de fotón único". IEEE Transactions on Nuclear Science . 41 (5): 1746– 1754. Bibcode : 1994ITNS...41.1746B . doi : 10.1109/23.317385 . S2CID 33708058 .

[9] "Docs/Appendix-Film-Grain-Synthesis.md · master · Alliance for Open Media / SVT-AV1 · GitLab" . GitLab . 2025-03-21 . Consultado el 2025-06-24 .

[10] Wiener N: «Interpolación, extrapolación y suavizado de series temporales estacionarias», Informe de los Servicios 19, Proyecto de Investigación DIC-6037 MIT, febrero de 1942.

[Wiener1949-11] Wiener, Norbert (1949). Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias: con aplicaciones de ingeniería . MIT Press . ISBN 9780262257190.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[12] Kolmogorov AN: 'Secuencias estacionarias en el espacio de Hilbert', (en ruso) Bull. Moscow Univ. 1941 vol.2 no.6 1-40. Traducción al inglés en Kailath T. (ed.) Estimación lineal por mínimos cuadrados Dowden, Hutchinson & Ross 1977 ISBN 0-87933-098-8

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