Sistema causal

En la teoría de control , un sistema causal (también conocido como sistema físico o no anticipativo ) es un sistema donde la salida depende de entradas pasadas y actuales, pero no de entradas futuras; es decir, la salida depende solo de la entrada para valores de . ${\displaystyle y(t_{0})}$${\estilo de visualización x(t)}$$estilo de visualización t\leq t_{0}}$

La idea de que la salida de una función en cualquier momento depende únicamente de valores de entrada pasados ​​y presentes se define por la propiedad comúnmente denominada causalidad . Un sistema que tiene cierta dependencia de valores de entrada del futuro (además de la posible dependencia de valores de entrada pasados ​​o actuales) se denomina sistema no causal o acausal , y un sistema que depende únicamente de valores de entrada futuros es un sistema anticausal . Nótese que algunos autores han definido un sistema anticausal como uno que depende únicamente de valores de entrada futuros y presentes o, más simplemente, como un sistema que no depende de valores de entrada pasados. ^[1]

Clásicamente, se ha considerado que la naturaleza o la realidad física es un sistema causal. La física que involucra la relatividad especial o la relatividad general requiere definiciones más cuidadosas de causalidad, como se describe detalladamente en Causalidad (física) .

La causalidad de los sistemas también desempeña un papel importante en el procesamiento de señales digitales , donde se construyen filtros para que sean causales, a veces alterando una formulación no causal para eliminar la falta de causalidad de modo que sea realizable. Para obtener más información, consulte filtro causal .

En el caso de un sistema causal, la respuesta al impulso del sistema debe utilizar únicamente los valores de entrada presentes y pasados ​​para determinar la salida. Este requisito es una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea causal, independientemente de la linealidad. Nótese que se aplican reglas similares tanto a los casos discretos como a los continuos. Según esta definición de no requerir valores de entrada futuros, los sistemas deben ser causales para procesar señales en tiempo real. ^[2]

Definición 1: Un sistema que mapea a es causal si y solo si, para cualquier par de señales de entrada , y cualquier elección de , tal que ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización x_{1}(t)}$$Estilo de visualización x_{2}(t)}$$estilo de visualización t_{0}$

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \para todo \ t<t_{0},}$

Las salidas correspondientes satisfacen

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \para todo \ t<t_{0}.}$

Definición 2: Supongamos que la respuesta al impulso de cualquier sistema se describe mediante una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. El sistema es causal si y solo si ${\estilo de visualización h(t)}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización H}$

${\displaystyle h(t)=0,\quad \paratodo \ t<0}$

De lo contrario, no es causal.

Los siguientes ejemplos son para sistemas con una entrada y una salida . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

• Sistema sin memoria

${\displaystyle y(t)=1-x(t)cos(omega t)}$

• Sistema con memoria habilitada

${\displaystyle y(t)=1+x(t)cos(omega t)}$

• Filtro autorregresivo

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• Promedio móvil central

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• Mirar hacia adelante

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

• Modelo causal

• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Hamid; con S. Hamid (1998). Señales y sistemas . Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.