teorema de inversión de Fourier

La formulación más común del teorema de inversión de Fourier es expresar la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable${\displaystyle g}$y todo${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$colocar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$tenemos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

El teorema puede reformularse como

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Tomando la parte real ^{[ 1 ]} de cada lado de la expresión anterior obtenemos

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Para cualquier función${\displaystyle g}$definir el operador de volteo ^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$por

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Entonces podemos definir en su lugar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Es inmediato a partir de la definición de la transformada de Fourier y del operador de inversión que ambos${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$coincidir con la definición integral de${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$⁠ , y en particular son iguales entre sí y satisfacen ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$.​

Desde${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$tenemos${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$y​${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$.​

La forma del teorema de inversión de Fourier enunciado anteriormente, como es común, es que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

En otras palabras,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$es una inversa izquierda de la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa derecha de la transformada de Fourier, es decir

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$es tan similar a ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ , esto se deduce muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (cambio de variables ⁠${\displaystyle \zeta$ :=-\xi } ⁠ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativamente, esto se puede ver a partir de la relación entre${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$y el operador de inversión y la asociatividad de la composición de funciones , ya que

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas de cualquier orden también decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de ser una afirmación directa y elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones temperadas (véase más adelante).

El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir ,${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ ) ​​con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la que se utiliza arriba en la sección de enunciados .

Una ligera variante consiste en eliminar la condición de que la función${\displaystyle f}$ser continua pero aún así requerir que tanto ella como su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Entonces${\displaystyle f=g}$casi en todas partes donde g es una función continua, y${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.​

Suave por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir ,${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) ​​y es suave por partes, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

es decir${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle x}$⁠ . En los puntos donde${\displaystyle f}$es continuo esto simplemente es igual a${\displaystyle f(x)}$.​

También se cumple una analogía de dimensiones superiores de esta forma del teorema, pero según Folland (1992) es "bastante delicada y no muy útil".

Continuo por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir ,${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) ​​pero simplemente continua por partes entonces una versión del teorema de inversión de Fourier sigue siendo válida. En este caso, la integral en la transformada inversa de Fourier se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de una función de corte abrupta; específicamente definimos

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

La conclusión del teorema es, por lo tanto, la misma que para el caso de funciones suaves por partes que se analizó anteriormente.

Continuo; cualquier número de dimensiones

Si${\displaystyle f}$es continuo y absolutamente integrable en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$entonces el teorema de inversión de Fourier sigue siendo válido siempre que definamos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

La conclusión ahora es simplemente que para todos${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si dejamos de lado todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de${\displaystyle f}$y supongamos simplemente que es absolutamente integrable, entonces una versión del teorema sigue siendo válida. La transformada inversa se define de nuevo con el corte suave, pero con la conclusión de que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

for almost every⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠.

In this case the Fourier transform cannot be defined directly as an integral since it may not be absolutely convergent, so it is instead defined by a density argument (see Fourier transform § On Lp spaces). For example, putting

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

we can set ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$ where the limit is taken in the ${\displaystyle L^{2}}$-norm. The inverse transform may be defined by density in the same way or by defining it in terms of the Fourier transform and the flip operator. We then have

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

in the mean squared norm. In one dimension (and one dimension only), it can also be shown that it converges for almost every⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$⁠. This is Carleson's theorem, but is much harder to prove than convergence in the mean squared norm.

The Fourier transform may be defined on the space of tempered distributions${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ by duality of the Fourier transform on the space of Schwartz functions. Specifically for ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ and for all test functions ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ we set

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle$ :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}

where ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$ is defined using the integral formula.^[3] If ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ then this agrees with the usual definition. We may define the inverse transform ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$⁠, either by duality from the inverse transform on Schwartz functions in the same way, or by defining it in terms of the flip operator (where the flip operator is defined by duality). We then have

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$