Casi en todas partes

En la teoría de la medida (una rama del análisis matemático ), una propiedad se cumple casi en todas partes si, en un sentido técnico, el conjunto para el cual se cumple la propiedad abarca casi todas las posibilidades. La noción de "casi en todas partes" es una noción complementaria al concepto de medida cero y es análoga a la noción de " casi con seguridad" en la teoría de la probabilidad .

Más específicamente, una propiedad se cumple casi en todas partes si se cumple para todos los elementos de un conjunto excepto para un subconjunto de medida cero, ^{[ 1 ] [ 2 ]} o, equivalentemente, si el conjunto de elementos para los que se cumple la propiedad es conull . En los casos en que la medida no es completa , basta con que el conjunto esté contenido dentro de un conjunto de medida cero. Al hablar de conjuntos de números reales , se suele asumir la medida de Lebesgue a menos que se indique lo contrario.

El término se abrevia casi en todas partes como ae ; ^{[ 3 ]} en la literatura antigua se usa pp , para representar la frase francesa equivalente presque partout . ^{[ 4 ]}

Un conjunto de medida completa es aquel cuyo complemento tiene medida cero. En teoría de la probabilidad, los términos «casi seguro» , «casi seguro» y «casi siempre» se refieren a eventos con probabilidad 1, que no necesariamente incluyen todos los resultados. Estos son precisamente los conjuntos de medida completa en un espacio de probabilidad.

En ocasiones, en lugar de decir que una propiedad se cumple casi en todas partes, se dice que la propiedad se cumple para casi todos los elementos (aunque el término " casi todos" también puede tener otros significados).

Si${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es un espacio de medida , una propiedad${\displaystyle P}$Se dice que se mantiene en casi todas partes.${\displaystyle X}$si existe un conjunto medible${\displaystyle N\in \Sigma }$con${\displaystyle \mu (N)=0}$y todos${\displaystyle x\in X\setminus N}$tener la propiedad${\displaystyle P}$. ^{[ 5 ]} Otra forma común de expresar lo mismo es decir que "casi todos los puntos satisfacen${\displaystyle P\,}$", o que "por casi todos${\displaystyle x}$,${\displaystyle P(x)}$sostiene".

No es necesario que el conjunto${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$tiene medida cero; puede que no sea mensurable. Según la definición anterior, es suficiente que ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$estar contenido en algún conjunto${\displaystyle N}$ that is measurable and has measure zero. However, this technicality vanishes when considering a complete measure space: if ${\displaystyle X}$ is complete then ${\displaystyle N}$ exists with measure zero if and only if ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ is measurable with measure zero.

• If property ${\displaystyle P}$ holds almost everywhere and implies property ${\displaystyle Q}$, then property ${\displaystyle Q}$ holds almost everywhere. This follows from the monotonicity of measures.
• If ${\displaystyle (P_{n})}$ is a finite or a countable sequence of properties, each of which holds almost everywhere, then their conjunction ${\displaystyle \forall nP_{n}}$ holds almost everywhere. This follows from the countable sub-additivity of measures.
• By contrast, if ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ is an uncountable family of properties, each of which holds almost everywhere, then their conjunction ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ does not necessarily hold almost everywhere. For example, if ${\displaystyle \mu }$ is Lebesgue measure on ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ and ${\displaystyle P_{x}}$ is the property of not being equal to ${\displaystyle x}$ (i.e. ${\displaystyle P_{x}(y)}$ is true if and only if ${\displaystyle y\neq x}$), then each ${\displaystyle P_{x}}$ holds almost everywhere, but the conjunction ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ does not hold anywhere.

As a consequence of the first two properties, it is often possible to reason about "almost every point" of a measure space as though it were an ordinary point rather than an abstraction. This is often done implicitly in informal mathematical arguments. However, one must be careful with this mode of reasoning because of the third bullet above: universal quantification over uncountable families of statements is valid for ordinary points but not for "almost every point".

• If f : R → R is a Lebesgue integrable function and ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ almost everywhere, then $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$ for all real numbers ${\displaystyle a<b}$ with equality if and only if${\displaystyle f(x)=0}$ almost everywhere.
• If f : [a, b] → R is a monotonic function, then f is differentiable almost everywhere.
• If f : R → R is Lebesgue measurable and $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$ for all real numbers ${\displaystyle a<b}$, then there exists a set E (depending on f) such that, if x is in E, the Lebesgue mean $${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$ converges to f(x) as ${\displaystyle \epsilon }$ decreases to zero. The set E is called the Lebesgue set of f. Its complement can be proved to have measure zero. In other words, the Lebesgue mean of f converges to f almost everywhere.
• Una función acotada f  : [ a , b ] → R es integrable de Riemann si y solo si es continua casi en todas partes.
• Como curiosidad, la expansión decimal de casi todos los números reales en el intervalo [0, 1] contiene el texto completo de las obras de Shakespeare , codificado en ASCII ; de manera similar para cualquier otra secuencia finita de dígitos, véase Número normal .

Fuera del contexto del análisis real, la noción de una propiedad verdadera casi en todas partes se define a veces en términos de un ultrafiltro . Un ultrafiltro en un conjunto X es una colección maximal F de subconjuntos de X tales que:

1. Si U ∈ F y U ⊆ V , entonces V ∈ F
2. La intersección de cualesquiera dos conjuntos en F está en F
3. El conjunto vacío no está en F

Una propiedad P de los puntos en X se cumple casi en todas partes, en relación con un ultrafiltro F , si el conjunto de puntos para los que se cumple P está en F.

Por ejemplo, una construcción del sistema de números hiperreales define un número hiperreal como una clase de equivalencia de secuencias que son iguales casi en todas partes, según lo define un ultrafiltro.

La definición de " casi en todas partes" en términos de ultrafiltros está estrechamente relacionada con la definición en términos de medidas, porque cada ultrafiltro define una medida finitamente aditiva que toma solo los valores 0 y 1, donde un conjunto tiene medida 1 si y solo si está incluido en el ultrafiltro.

Con esta noción de "casi en todas partes", el teorema de Łoś puede entenderse como que una fórmula de primer orden es verdadera en un ultraproducto si y solo si es verdadera en casi todos los factores.

• La función de Dirichlet , una función que es igual a 0 en casi todas partes.
• Función Cantor

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (3.ª  ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.