Medida completa

En matemáticas , una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medida completo ) es un espacio de medida en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (tiene medida cero ). Más formalmente, un espacio de medida ( X ,  Σ, μ ) es completo si y solo si ^{[ 1 ] [ 2 ]} 

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ y }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

La necesidad de considerar cuestiones de completitud puede ilustrarse al analizar el problema de los espacios de productos.

Supongamos que ya hemos construido la medida de Lebesgue en la recta real : denotemos este espacio de medida por${\displaystyle (\mathbb {R} ,B,\lambda ).}$Ahora deseamos construir alguna medida de Lebesgue bidimensional.${\displaystyle \lambda ^{2}}$en el avión${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$como medida de producto . Ingenuamente, tomaríamos el álgebra 𝜎 en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ser${\displaystyle B\otimes B,}$el álgebra 𝜎 más pequeña que contiene todos los "rectángulos" medibles${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$para${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.}$

Si bien este enfoque define un espacio de medida , tiene un defecto. Dado que cada conjunto unitario tiene una medida de Lebesgue unidimensional cero, $${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0}$$ para cualquier subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbb {R} .}$Sin embargo, supongamos que${\displaystyle A}$es un subconjunto no mensurable de la recta real, como el conjunto de Vitali . Entonces el${\displaystyle \lambda ^{2}}$-medida de${\displaystyle \{0\}\times A}$no está definido pero $${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$$ y este conjunto más grande sí tiene${\displaystyle \lambda ^{2}}$-medida cero. Por lo tanto, esta "medida de Lebesgue bidimensional", tal como se acaba de definir, no está completa y se requiere algún tipo de procedimiento de completitud.

Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) ( X ,  Σ, μ ), existe una extensión ( X , Σ ₀ , μ ₀ ) de este espacio de medida que es completa. ^{[ 3 ]} La extensión más pequeña de este tipo (es decir, el álgebra σ más pequeña Σ ₀ ) se llama la completación del espacio de medida.   

La finalización se puede construir de la siguiente manera:

• Sea Z el conjunto de todos los subconjuntos de los subconjuntos de medida μ cero de X (intuitivamente, aquellos elementos de Z que no están ya en Σ son los que impiden que se cumpla la completitud);
• Sea Σ ₀ el σ -álgebra generada por Σ y Z (es decir, el σ -álgebra más pequeño que contiene todos los elementos de Σ y de Z );
• μ tiene una extensión μ ₀ a Σ ₀ (que es única si μ es σ -finita ), llamada medida exterior de μ , dada por el ínfimo.

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.}$

Entonces ( X ,  Σ ₀ , μ ₀ ) es un espacio de medida completo, y es la completación de ( X , Σ, μ ).   

En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ ₀ es de la forma A  ∪ B para algún A ∈ Σ y algún B ∈ Z , y     

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

• La medida de Borel , definida en el álgebra σ de Borel generada por los intervalos abiertos de la recta real, no es completa; por lo tanto, debe utilizarse el procedimiento de completación descrito anteriormente para definir la medida de Lebesgue completa. Esto se ilustra con el hecho de que el conjunto de todos los conjuntos de Borel sobre los números reales tiene la misma cardinalidad que los números reales. Si bien el conjunto de Cantor es un conjunto de Borel, tiene medida cero y su conjunto potencia tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la de los números reales. Por consiguiente, existe un subconjunto del conjunto de Cantor que no está contenido en los conjuntos de Borel. De ahí que la medida de Borel no sea completa.
• La medida de Lebesgue n- dimensional es la completación del producto n- ésimo del espacio de Lebesgue unidimensional consigo mismo. También es la completación de la medida de Borel, como en el caso unidimensional.

El teorema de Maharam establece que todo espacio de medida completo es descomponible en medidas sobre continuos y una medida de conteo finita o numerable .

• Medida interna
• Conjunto medible de Lebesgue : definición más amplia de tamaños en espacios de dimensión entera. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 

• Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida completa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press