Medida interna

En matemáticas , y en particular en la teoría de la medida , una medida interna es una función definida sobre el conjunto potencia de un conjunto dado , con valores en los números reales extendidos , que satisface ciertas condiciones técnicas. Intuitivamente, la medida interna de un conjunto es una cota inferior del tamaño de dicho conjunto.

Una medida interna es una función de conjunto$${\displaystyle \varphi :2^{X}\a [0,\infty ],}$$ definido en todos los subconjuntos de un conjunto${\displaystyle X,}$que cumpla las siguientes condiciones:

• Conjunto vacío nulo: El conjunto vacío tiene medida interna cero ( véase también: medida cero ); es decir,$${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$$
• Superaditivo : Para cualquier conjunto disjunto${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$$${\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).}$$
• Límites de torres decrecientes: Para cualquier secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$de conjuntos tales que${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$para cada${\displaystyle j}$y${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$$${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$$
• Si la medida no es finita, es decir, si existen conjuntos${\displaystyle A}$con${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$, entonces hay que acercarse a este infinito. Más precisamente, si${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$para un conjunto${\displaystyle A}$entonces para cada número real positivo${\displaystyle r,}$existe algo${\displaystyle B\subsetae}$de tal manera que$${\displaystyle r\leq \varphi (B)<\infty.}$$

Dejar${\displaystyle \Sigma }$sea ​​una σ-álgebra sobre un conjunto${\displaystyle X}$y${\displaystyle \mu }$ser una medida en${\displaystyle \Sigma .}$ Luego la medida interior${\displaystyle \mu _{*}}$inducido por${\displaystyle \mu }$se define por $${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ y }}S\subseteq T\}.}$$

Esencialmente${\displaystyle \mu _{*}}$proporciona un límite inferior del tamaño de cualquier conjunto al asegurar que sea al menos tan grande como el${\displaystyle \mu }$-medida de cualquiera de sus${\displaystyle \Sigma }$-subconjuntos medibles. Aunque la función de conjunto${\displaystyle \mu _{*}}$no suele ser una medida,${\displaystyle \mu _{*}}$Comparte las siguientes propiedades con las medidas:

1. ${\displaystyle \mu _{*}(\varnothing )=0,}$
2. ${\displaystyle \mu _{*}}$es no negativo,
3. Si${\displaystyle E\subseteq F}$entonces${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).}$

Las medidas internas inducidas se utilizan a menudo en combinación con medidas externas para extender una medida a un álgebra σ mayor. Si${\displaystyle \mu }$es una medida finita definida en un σ-álgebra${\displaystyle \Sigma }$encima${\displaystyle X}$y${\displaystyle \mu ^{*}}$y${\displaystyle \mu _{*}}$son medidas externas e internas inducidas correspondientes, entonces los conjuntos${\displaystyle T\in 2^{X}}$de tal manera que${\displaystyle \mu _{*}(T)=\mu ^{*}(T)}$formar un álgebra σ${\displaystyle {\sombrero {\Sigma }}}$con${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$. ^{[ 1 ]} La función de conjunto${\displaystyle {\hat {\mu }}}$definido por $${\displaystyle {\hat {\mu }}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$$ a pesar de${\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}$es una medida sobre${\displaystyle {\sombrero {\Sigma }}}$conocido como la finalización de${\displaystyle \mu .}$

• Conjunto medible de Lebesgue : definición más amplia de tamaños en espacios de dimensión entera. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 

• Halmos, Paul R. , Teoría de la medida , D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, págs.  58.
• A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin , traducido por Richard A. Silverman, Introducción al análisis real , Dover Publications, Nueva York, 1970, ISBN 0-486-61226-0(Capítulo 7)