Desconvolución de Wiener

En matemáticas , la deconvolución de Wiener es una aplicación del filtro de Wiener a los problemas de ruido inherentes a la deconvolución . Funciona en el dominio de la frecuencia , intentando minimizar el impacto del ruido deconvolucionado en frecuencias que tienen una mala relación señal-ruido .

El método de deconvolución de Wiener tiene un uso generalizado en aplicaciones de deconvolución de imágenes , ya que el espectro de frecuencia de la mayoría de las imágenes visuales se comporta bastante bien y puede estimarse fácilmente.

La deconvolución de Wiener recibe su nombre en honor a Norbert Wiener .

Dado un sistema:

${\displaystyle \ y(t)=(h*x)(t)+n(t)}$

donde denota convolución y: ${\estilo de visualización *}$

• ${\estilo de visualización \ x(t)}$es alguna señal original (desconocida) en ese momento .${\estilo de visualización \ t}$
• ${\estilo de visualización \ h(t)}$es la respuesta al impulso conocida de un sistema lineal invariante en el tiempo
• ${\estilo de visualización \ n(t)}$es un ruido aditivo desconocido, independiente de${\estilo de visualización \ x(t)}$
• ${\displaystyle \ y(t)}$es nuestra señal observada

Nuestro objetivo es encontrar algunos para poder estimar lo siguiente: ${\displaystyle \ g(t)}$${\estilo de visualización \ x(t)}$

${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)=(g*y)(t)}$

donde es una estimación de que minimiza el error cuadrático medio${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$${\estilo de visualización \ x(t)}$

${\displaystyle \ \epsilon (t)=\mathbb {E} \izquierda|x(t)-{\hat {x}}(t)\derecha|^{2}}$,

con denotación de la expectativa . El filtro de deconvolución de Wiener proporciona tal . El filtro se describe más fácilmente en el dominio de la frecuencia : ${\displaystyle \\mathbb {E}}$${\displaystyle \ g(t)}$

${\displaystyle \ G(f)={\frac {H^{*}(f)S(f)}{|H(f)|^{2}+N(f)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \ G(f)}$y son las transformadas de Fourier de y ,${\estilo de visualización \ H(f)}$${\displaystyle \ g(t)}$${\estilo de visualización \ h(t)}$
• ${\displaystyle \ S(f)=\mathbb {E} |X(f)|^{2}}$es la densidad espectral de potencia media de la señal original ,${\estilo de visualización \ x(t)}$
• ${\displaystyle \ N(f)=\mathbb {E} |V(f)|^{2}}$es la densidad espectral de potencia media del ruido ,${\estilo de visualización \ n(t)}$
• ${\displaystyle X(f)}$, , y son las transformadas de Fourier de , y , y , respectivamente,${\displaystyle Y(f)}$${\displaystyle V(f)}$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\estilo de visualización n(t)}$
• El superíndice denota conjugación compleja .${\estilo de visualización {}^{*}}$

La operación de filtrado puede llevarse a cabo en el dominio del tiempo, como se indicó anteriormente, o en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)=G(f)Y(f)}$

y luego realizar una transformada de Fourier inversa para obtener . ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$

Tenga en cuenta que en el caso de las imágenes, los argumentos y anteriores se vuelven bidimensionales; sin embargo, el resultado es el mismo. ${\estilo de visualización \ t}$${\estilo de visualización \ f}$

El funcionamiento del filtro de Wiener se hace evidente cuando se reescribe la ecuación del filtro anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}\left[{\frac {1}{1+1/(|H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f))}}\right]\end{aligned}}}$

Aquí, es la inversa del sistema original, es la relación señal-ruido y es la relación entre la señal filtrada pura y la densidad espectral del ruido. Cuando hay ruido cero (es decir, una relación señal-ruido infinita), el término dentro de los corchetes es igual a 1, lo que significa que el filtro de Wiener es simplemente la inversa del sistema, como podríamos esperar. Sin embargo, a medida que aumenta el ruido en ciertas frecuencias, la relación señal-ruido disminuye, por lo que el término dentro de los corchetes también disminuye. Esto significa que el filtro de Wiener atenúa las frecuencias de acuerdo con su relación señal-ruido filtrada. ${\displaystyle \ 1/H(f)}$${\displaystyle \ \mathrm {SNR} (f)=S(f)/N(f)}$${\displaystyle \ |H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f)}$

La ecuación del filtro de Wiener que se muestra arriba requiere que conozcamos el contenido espectral de una imagen típica y también el del ruido. A menudo, no tenemos acceso a estas cantidades exactas, pero podemos estar en una situación en la que se puedan hacer buenas estimaciones. Por ejemplo, en el caso de las imágenes fotográficas, la señal (la imagen original) normalmente tiene frecuencias bajas fuertes y frecuencias altas débiles, mientras que en muchos casos el contenido de ruido será relativamente plano con la frecuencia.

Como se mencionó anteriormente, queremos producir una estimación de la señal original que minimice el error cuadrático medio, que puede expresarse:

${\displaystyle \ \epsilon (f)=\mathbb {E} \left|X(f)-{\hat {X}}(f)\right|^{2}}$.

La equivalencia con la definición anterior de , se puede derivar utilizando el teorema de Plancherel o el teorema de Parseval para la transformada de Fourier . ${\displaystyle \épsilon}$

Si sustituimos en la expresión por , lo anterior se puede reorganizar a ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)Y(f)\right|^{2}\\&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)\left[H(f)X(f)+V(f)\right]\right|^{2}\\&=\mathbb {E} {\big |}\left[1-G(f)H(f)\right]X(f)-G(f)V(f){\big |}^{2}\end{aligned}}}$

Si desarrollamos la ecuación cuadrática obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} |X(f)|^{2}\\&{}-{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}G^{*}(f)\,\mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}\\&{}-G(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}\\&{}+G(f)G^{*}(f)\,\mathbb {E} |V(f)|^{2}\end{alineado}}}$

Sin embargo, asumimos que el ruido es independiente de la señal, por lo tanto:

${\displaystyle \ \mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}=\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}=0}$

Sustituyendo las densidades espectrales de potencia y , tenemos: ${\displaystyle \ S(f)}$${\estilo de visualización \ N(f)}$

${\displaystyle \epsilon (f)={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)+G(f)G^{*}(f)N(f)}$

Para encontrar el valor de error mínimo, calculamos la derivada de Wirtinger con respecto a y la establecemos igual a cero. ${\displaystyle \ G(f)}$

${\displaystyle \ {\frac {d\epsilon (f)}{dG(f)}}=0\Rightarrow G^{*}(f)N(f)-H(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)=0}$

Esta igualdad final se puede reorganizar para obtener el filtro de Wiener.

• Teoría de campos de información
• Desconvolución
• Filtro de Viena
• Función de dispersión de puntos
• Desconvolución ciega
• Transformada de Fourier

• Rafael González, Richard Woods y Steven Eddins. Procesamiento de imágenes digitales con Matlab . Prentice Hall, 2003.

• Comparación de diferentes métodos de deconvolución.