Función de dispersión de puntos

La función de dispersión puntual ( PSF ) describe la respuesta de un sistema de imagen óptica enfocado a una fuente de luz puntual idealizada. En términos sencillos, para una cámara dada, es la imagen borrosa que se obtiene al apuntar la cámara a un único punto de luz.

En términos más técnicos, una PSF es una función de respuesta impulsional (IRF) para un sistema de imagen óptica focalizada, en términos espaciales (a diferencia de los términos temporales). En términos funcionales, es la versión en el dominio espacial (es decir, la transformada inversa de Fourier) de la función de transferencia óptica (OTF) de un sistema de imagen. Es un concepto útil en óptica de Fourier , imagen astronómica , imagen médica , microscopía electrónica y otras técnicas de imagen como la microscopía 3D (como en la microscopía confocal de barrido láser ) y la microscopía de fluorescencia .

El grado de dispersión (desenfoque) en la imagen de un objeto puntual para un sistema de imagen es una medida de la calidad de dicho sistema. En sistemas de imagen no coherentes , como microscopios de fluorescencia , telescopios o microscopios ópticos, el proceso de formación de la imagen es lineal con respecto a la intensidad de la imagen y se describe mediante una teoría de sistemas lineales . Esto significa que cuando dos objetos A y B son captados simultáneamente por un sistema de imagen no coherente, la imagen resultante es igual a la suma de las imágenes de los objetos captados independientemente. En otras palabras: la imagen de A no se ve afectada por la imagen de B y viceversa , debido a la propiedad de no interacción de los fotones. En sistemas espacialmente invariantes, es decir, aquellos en los que la función de dispersión puntual (PSF) es la misma en todo el espacio de imagen, la imagen de un objeto complejo es entonces la convolución de dicho objeto y la PSF. La PSF se puede derivar de integrales de difracción. ^{[ 1 ]}

En virtud de la propiedad de linealidad de los sistemas de imágenes ópticas no coherentes , es decir,

Imagen ( Objeto ₁ + Objeto ₂ ) = Imagen ( Objeto ₁ ) + Imagen ( Objeto ₂ )

La imagen de un objeto en un microscopio o telescopio, como sistema de imagen no coherente, se puede calcular expresando el campo del plano del objeto como una suma ponderada de funciones impulso bidimensionales y, posteriormente, el campo del plano de la imagen como una suma ponderada de las imágenes de estas funciones impulso. Esto se conoce como el principio de superposición , válido para sistemas lineales . Las imágenes de las funciones impulso individuales del plano del objeto se denominan funciones de dispersión puntual (PSF), lo que refleja el hecho de que un punto de luz matemático en el plano del objeto se extiende para formar un área finita en el plano de la imagen. En algunas ramas de las matemáticas y la física, estas funciones se conocen como funciones de Green o funciones de respuesta impulsional . Las PSF se consideran funciones de respuesta impulsional para sistemas de imagen.

Cuando el objeto se divide en puntos discretos de intensidad variable, la imagen se calcula como la suma de la función de dispersión puntual (PSF) de cada punto. Dado que la PSF suele estar determinada completamente por el sistema de imagen (es decir, microscopio o telescopio), la imagen completa se puede describir conociendo las propiedades ópticas del sistema. Este proceso de imagen se formula generalmente mediante una ecuación de convolución . En el procesamiento de imágenes de microscopio y en astronomía , conocer la PSF del dispositivo de medición es muy importante para restaurar el objeto (original) mediante deconvolución . En el caso de los haces láser, la PSF se puede modelar matemáticamente utilizando los conceptos de haces gaussianos . ^{[ 3 ]} Por ejemplo, la deconvolución de la PSF modelada matemáticamente y la imagen mejora la visibilidad de las características y elimina el ruido de la imagen. ^{[ 2 ]}

La función de dispersión de puntos puede ser independiente de la posición en el plano del objeto, en cuyo caso se denomina invariante de desplazamiento . Además, si no hay distorsión en el sistema, las coordenadas del plano de la imagen están relacionadas linealmente con las coordenadas del plano del objeto a través de la magnificación M de la siguiente manera:

${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(Mx_{o},My_{o})}$.

Si el sistema de imagen produce una imagen invertida, podemos considerar que los ejes de coordenadas del plano de la imagen están invertidos con respecto a los ejes del plano del objeto. Con estas dos suposiciones, es decir, que la función de dispersión puntual (PSF) es invariante a la traslación y que no hay distorsión, calcular la integral de convolución del plano de la imagen es un proceso sencillo.

Matemáticamente, podemos representar el campo del plano del objeto como:

${\displaystyle O(x_{o},y_{o})=\iint O(u,v)~\delta (x_{o}-u,y_{o}-v)~du\,dv}$

es decir, como una suma sobre funciones de impulso ponderadas, aunque esto también es realmente solo una declaración de la propiedad de filtrado de las funciones delta 2D (que se discute más adelante). Reescribir la función de transmitancia del objeto en la forma anterior nos permite calcular el campo del plano de la imagen como la superposición de las imágenes de cada una de las funciones de impulso individuales, es decir, como una superposición sobre funciones de dispersión de punto ponderadas en el plano de la imagen usando la misma función de ponderación que en el plano del objeto, es decir,${\displaystyle O(x_{o},y_{o})}$Matemáticamente, la imagen se expresa como:

${\displaystyle I(x_{i},y_{i})=\iint O(u,v)~\mathrm {PSF} (x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)\,du\,dv}$

en el cual${\textstyle {\mbox{PSF}}(x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)}$es la imagen de la función impulso${\displaystyle \delta (x_{o}-u,y_{o}-v)}$.

La función de impulso 2D puede considerarse como el límite (cuando la dimensión lateral w tiende a cero) de la función de "poste cuadrado", que se muestra en la figura siguiente.

Imaginamos que el plano del objeto se descompone en áreas cuadradas como esta, cada una con su propia función de poste cuadrado asociada. Si la altura, h , del poste se mantiene en 1/w² ^, entonces a medida que la dimensión del lado w tiende a cero, la altura, h , tiende a infinito de tal manera que el volumen (integral) permanece constante en 1. Esto le da al impulso 2D la propiedad de tamizado (que está implícita en la ecuación anterior), que dice que cuando la función de impulso 2D, δ( x  − u , y − v ), se integra contra cualquier otra función continua , f ( u , v ) , "tamiza" el valor de f en la ubicación del impulso, es decir, en el punto ( x , y ) .   

El concepto de un objeto de fuente puntual perfecta es fundamental para la idea de PSF. Sin embargo, en la naturaleza no existe un radiador de fuente puntual matemáticamente perfecto; el concepto es completamente no físico y es más bien una construcción matemática utilizada para modelar y comprender los sistemas de imágenes ópticas. La utilidad del concepto de fuente puntual proviene del hecho de que una fuente puntual en el plano del objeto 2D solo puede irradiar una onda esférica perfecta de amplitud uniforme, una onda con frentes de fase perfectamente esféricos que viajan hacia afuera con intensidad uniforme en todas partes de las esferas (véase el principio de Huygens-Fresnel ). Dicha fuente de ondas esféricas uniformes se muestra en la figura siguiente. También observamos que un radiador de fuente puntual perfecta no solo irradiará un espectro uniforme de ondas planas propagantes, sino también un espectro uniforme de ondas que decaen exponencialmente ( evanescentes ), y son estas las responsables de una resolución más fina que una longitud de onda (véase la óptica de Fourier ). Esto se deduce de la siguiente expresión de la transformada de Fourier para una función de impulso 2D,

${\displaystyle \delta (x,y)\propto \iint e^{j(k_{x}x+k_{y}y)}\,dk_{x}\,dk_{y}}$

La lente cuadrática intercepta una porción de esta onda esférica y la vuelve a enfocar en un punto borroso en el plano de la imagen. Para una sola lente , una fuente puntual en el eje en el plano del objeto produce una PSF de disco de Airy en el plano de la imagen. Se puede demostrar (véase óptica de Fourier , principio de Huygens-Fresnel , difracción de Fraunhofer ) que el campo radiado por un objeto plano (o, por reciprocidad, el campo que converge en una imagen plana) está relacionado con la distribución de su plano fuente (o imagen) correspondiente mediante una relación de transformada de Fourier (TF). Además, una función uniforme sobre un área circular (en un dominio de TF) corresponde a J ₁ ( x )/ x en el otro dominio de TF, donde J ₁ ( x ) es la función de Bessel de primer orden de primera especie. Es decir, una apertura circular uniformemente iluminada que deja pasar una onda esférica uniforme convergente produce una imagen de disco de Airy en el plano focal. En la figura adjunta se muestra la gráfica de un disco de Airy de muestra.

Por lo tanto, la onda esférica convergente ( parcial ) que se muestra en la figura anterior produce un disco de Airy en el plano de la imagen. El argumento de la función J ₁ ( x )/ x es importante, porque este determina la escala del disco de Airy (en otras palabras, qué tan grande es el disco en el plano de la imagen). Si Θ _max es el ángulo máximo que las ondas convergentes forman con el eje de la lente, r es la distancia radial en el plano de la imagen, y el número de onda k  =  2π/λ donde λ  =  longitud de onda, entonces el argumento de la función es: kr tan(Θ _max ) . Si Θ _max es pequeño (solo una pequeña porción de la onda esférica convergente está disponible para formar la imagen), entonces la distancia radial, r, tiene que ser muy grande para que el argumento total de la función se aleje del punto central. En otras palabras, si Θ _max es pequeño, el disco de Airy es grande (lo cual es otra afirmación del principio de incertidumbre de Heisenberg para pares de transformadas de Fourier, a saber, que una extensión pequeña en un dominio corresponde a una extensión amplia en el otro dominio, y ambos están relacionados mediante el producto espacio-ancho de banda ). En virtud de esto, los sistemas de alta magnificación , que normalmente tienen valores pequeños de Θ _max (debido a la condición del seno de Abbe ), pueden tener más desenfoque en la imagen, debido a la mayor amplitud de la función de dispersión puntual (PSF). El tamaño de la PSF es proporcional a la magnificación , por lo que el desenfoque no es peor en un sentido relativo, pero definitivamente es peor en un sentido absoluto.

La figura anterior ilustra la truncación de la onda esférica incidente por la lente. Para medir la función de dispersión puntual (o función de respuesta impulsional) de la lente, no se necesita una fuente puntual perfecta que irradie una onda esférica perfecta en todas las direcciones del espacio. Esto se debe a que la lente solo tiene un ancho de banda (angular) finito, o un ángulo de intercepción finito. Por lo tanto, cualquier ancho de banda angular contenido en la fuente que se extienda más allá del ángulo del borde de la lente (es decir, que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema) es esencialmente ancho de banda desperdiciado, ya que la lente no puede interceptarlo para procesarlo. En consecuencia, no se requiere una fuente puntual perfecta para medir una función de dispersión puntual perfecta. Solo necesitamos una fuente de luz que tenga al menos el mismo ancho de banda angular que la lente que se está probando (y, por supuesto, que sea uniforme en ese sector angular). En otras palabras, solo necesitamos una fuente puntual producida por una onda esférica convergente (uniforme) cuyo semiángulo sea mayor que el ángulo del borde de la lente.

Debido a la resolución intrínsecamente limitada de los sistemas de imagen, las PSF medidas no están exentas de incertidumbre. ^{[ 4 ]} En imagen, se desea suprimir los lóbulos laterales del haz de imagen mediante técnicas de apodización . En el caso de sistemas de imagen de transmisión con distribución de haz gaussiana, la PSF se modela mediante la siguiente ecuación: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {PSF} (f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp \left[-z\alpha (f)-{\dfrac {2\rho ^{2}}{0.36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0.56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}}\right],}$

donde el factor k depende de la relación de truncamiento y el nivel de irradiancia , NA es la apertura numérica, c es la velocidad de la luz , f es la frecuencia de fotones del haz de imagen, I _r es la intensidad del haz de referencia, a es un factor de ajuste y${\displaystyle \rho }$es la posición radial desde el centro del haz en el plano z correspondiente .

La teoría de la difracción de las funciones de dispersión puntual fue estudiada por primera vez por Airy en el siglo XIX. Desarrolló una expresión para la amplitud e intensidad de la función de dispersión puntual de un instrumento perfecto, libre de aberraciones (el llamado disco de Airy ). La teoría de las funciones de dispersión puntual aberradas cerca del plano focal óptimo fue estudiada por Zernike y Nijboer en las décadas de 1930 y 1940. Un papel central en su análisis lo desempeñan los polinomios circulares de Zernike , que permiten una representación eficiente de las aberraciones de cualquier sistema óptico con simetría rotacional. Resultados analíticos recientes han permitido extender el enfoque de Nijboer y Zernike para la evaluación de la función de dispersión puntual a un gran volumen alrededor del punto focal óptimo. Esta teoría extendida de Nijboer-Zernike (ENZ) permite estudiar la formación de imágenes imperfectas de objetos tridimensionales en microscopía confocal o astronomía bajo condiciones de imagen no ideales. La teoría ENZ también se ha aplicado a la caracterización de instrumentos ópticos con respecto a su aberración mediante la medición de la distribución de intensidad a través del foco y la resolución de un problema inverso apropiado .

• Disco aéreo
• Círculo de confusión , en relación con un tema estrechamente vinculado a la fotografía en general.
• Desconvolución
• Energía rodeada
• Función de respuesta al impulso
• Microscopio
• Microesfera
• Laboratorio PSF

• Hagai Kirshner; François Aguet; Daniel Sage; Michael Unser (2013). "Ajuste de PSF 3D para microscopía de fluorescencia: implementación y aplicación de localización" ( PDF) . Journal of Microscopy . 249 (enero de 2013): 13–25 . doi : 10.1111/j.1365-2818.2012.03675.x . PMID 23126323. S2CID 5318333 .  
• Rachel Noek; Caleb Knoernschild; Justin Migacz; Taehyun Kim; Peter Maunz; True Merrill; Harley Hayden; CS Pai; Jungsang Kim (2010). "Óptica multiescala para una mejor captación de luz desde una fuente puntual" (PDF) . Optics Letters . 35 (junio de 2010): 2460–2 . arXiv : 1006.2188 . Bibcode : 2010OptL...35.2460N . doi : 10.1364/OL.35.002460 . hdl : 10161/4222 . PMID 20634863. S2CID 6838852 .