Polinomios de Zernike

En matemáticas , los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el disco unitario . Llevan el nombre del físico óptico Frits Zernike , ganador del Premio Nobel de Física en 1953 e inventor de la microscopía de contraste de fases , y desempeñan papeles importantes en varias ramas de la óptica, como la óptica de haces y la formación de imágenes. ^{[1] [2]}

Existen polinomios de Zernike pares e impares . Los polinomios de Zernike pares se definen como

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

(función par sobre el ángulo azimutal ), y los polinomios de Zernike impares se definen como ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

(función impar sobre el ángulo acimutal ) donde m y n son números enteros no negativos con n ≥ m ≥ 0 ( m = 0 para polinomios esféricos de Zernike), es el ángulo acimutal , ρ es la distancia radial y son los polinomios radiales definidos a continuación. Los polinomios de Zernike tienen la propiedad de estar limitados a un rango de −1 a +1, es decir . Los polinomios radiales se definen como ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$${\displaystyle R_{n}^{m}}$${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

para un número par de n − m , mientras que es 0 para un número impar de n − m . Un valor especial es

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

Reescribiendo las razones de los factoriales en la parte radial como productos de binomios se muestra que los coeficientes son números enteros:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$.

Una notación como funciones hipergeométricas gaussianas terminales es útil para revelar recurrencias, demostrar que son casos especiales de polinomios de Jacobi , escribir ecuaciones diferenciales, etc.:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

para n − m par.

La relación inversa se expande para fijo en${\displaystyle \rho ^{j}}$${\displaystyle m\leq j}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle \rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )}$

con coeficientes racionales ^[3]${\displaystyle h_{j,n,m}}$

${\displaystyle h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}$

para incluso . ${\displaystyle j-m=0,2,4,\ldots }$

El factor del polinomio radial puede desarrollarse en una base de Bernstein de para pares o multiplicado por una función de para impares en el rango . Por lo tanto, el polinomio radial puede expresarse mediante un número finito de polinomios de Bernstein con coeficientes racionales: ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

Las aplicaciones a menudo implican álgebra lineal, donde una integral sobre un producto de polinomios de Zernike y algún otro factor construye los elementos de una matriz. Para enumerar las filas y columnas de estas matrices por un único índice, Noll introdujo una asignación convencional de los dos índices n y l a un único índice j . ^[4] La tabla de esta asociación comienza de la siguiente manera (secuencia A176988 en la OEIS ). ${\displaystyle Z_{n}^{l}\rightarrow Z_{j}}$${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|l|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&l>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&l<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

La regla es la siguiente:

• Los polinomios de Zernike pares Z (con partes azimutales pares , donde a es un número positivo) obtienen índices pares j.${\displaystyle \cos(m\varphi )}$${\displaystyle m=l}$${\displaystyle l}$
• La impar Z obtiene (con partes azimutales impares , donde a es un número negativo) índices impares j .${\displaystyle \sin(m\varphi )}$${\displaystyle m=\left\vert l\right\vert }$${\displaystyle l}$
• Dentro de un n dado , un valor menor da como resultado un valor menor  j .${\displaystyle \left\vert l\right\vert }$

Polinomios de Zernike de índice único OSA ^[5] y ANSI utilizando:

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+l}{2}}}$

El esquema de indexación Fringe se utiliza en software de diseño óptico comercial y pruebas ópticas, por ejemplo, en fotolitografía . ^{[6] [7]}

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|l|}{2}}\right)^{2}-2|l|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} l}{2}}\right\rfloor }$

donde es la función sign o signum . Los primeros 20 números marginales se enumeran a continuación. ${\displaystyle \operatorname {sgn} l}$

James C. Wyant utiliza el esquema de indexación "Fringe", excepto que comienza en 0 en lugar de 1 (restar 1). ^[8] Este método se utiliza comúnmente, incluido el software de análisis de interferogramas en los interferómetros Zygo y el software de código abierto DFTFringe.

Satisfacen la fórmula de Rodrigues

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)={\frac {x^{-m}}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right]}$

y puede relacionarse con los polinomios de Jacobi como

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)=x^{m}{\frac {P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}\left(2x^{2}-1\right)}{P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}(1)}}}$.

La ortogonalidad en la parte radial se lee ^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

o

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

La ortogonalidad en la parte angular está representada por la ecuación elemental

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

donde (a veces llamado factor de Neumann porque aparece frecuentemente junto con las funciones de Bessel) se define como 2 si y 1 si . El producto de las partes angular y radial establece la ortogonalidad de las funciones de Zernike con respecto a ambos índices si se integran sobre el disco unitario, ${\displaystyle \epsilon _{m}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}$

donde es el jacobiano del sistema de coordenadas circulares, y donde y son ambos pares. ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$${\displaystyle n-l}$${\displaystyle n'-l'}$

Cualquier campo de fase de valor real suficientemente suave sobre el disco unitario se puede representar en términos de sus coeficientes de Zernike (pares e impares), de la misma manera que las funciones periódicas encuentran una representación ortogonal con la serie de Fourier . Tenemos ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

donde los coeficientes se pueden calcular utilizando productos internos . En el espacio de funciones del disco unitario, hay un producto interno definido por ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

Los coeficientes de Zernike pueden expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

Como alternativa, se pueden utilizar los valores conocidos de la función de fase G en la cuadrícula circular para formar un sistema de ecuaciones. La función de fase se recupera mediante el producto ponderado de coeficientes desconocidos con (valores conocidos) del polinomio de Zernike en toda la cuadrícula unitaria. Por lo tanto, los coeficientes también se pueden encontrar resolviendo un sistema lineal, por ejemplo, mediante la inversión de matrices. Los algoritmos rápidos para calcular la transformada de Zernike directa e inversa utilizan las propiedades de simetría de las funciones trigonométricas , la separabilidad de las partes radial y azimutal de los polinomios de Zernike y sus simetrías rotacionales.

Las reflexiones de las funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión a lo largo del eje x es

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$para l ≥ 0,

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$para l < 0.

Los desplazamientos π de las funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión del punto en el centro de las coordenadas sea

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

donde también se podría escribir porque los números pares son los únicos casos para obtener polinomios de Zernike que no se desvanecen. (Si n es par, entonces l también es par. Si n es impar, entonces l también es impar). Esta propiedad a veces se usa para categorizar polinomios de Zernike en pares e impares en términos de su dependencia angular. (También es posible agregar otra categoría con l = 0 ya que tiene una propiedad especial de no dependencia angular). ${\displaystyle (-1)^{l}}$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle n-l}$

• Polinomios de Zernike angularmente pares: polinomios de Zernike con l par de modo que${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$
• Polinomios de Zernike angularmente impares: polinomios de Zernike con l impar de modo que${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$

Los polinomios radiales también son pares o impares, dependiendo del orden n o m :

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

Estas igualdades se ven fácilmente ya que con un m impar (par) solo contiene potencias impares (pares) de ρ (ver ejemplos a continuación). ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

La periodicidad de las funciones trigonométricas resulta invariante si se rotan en múltiplos de radianes alrededor del centro: ${\displaystyle 2\pi /l}$

${\displaystyle Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

Los polinomios de Zernike satisfacen la siguiente relación de recurrencia que no depende ni del grado ni del orden azimutal de los polinomios radiales: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

De la definición de it se desprende que y . La siguiente relación de recurrencia de tres términos ^[11] permite entonces calcular todos los demás : ${\displaystyle R_{n}^{m}}$${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

La relación anterior es especialmente útil ya que la derivada de se puede calcular a partir de dos polinomios radiales de Zernike de grado adyacente: ^[11]${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

La ecuación diferencial de la Función Hipergeométrica Gaussiana es equivalente a

${\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).}$

Los primeros polinomios radiales son:

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

A continuación se muestran los primeros modos de Zernike, en varios índices. Están normalizados de modo que: , que es equivalente a . ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1}$

Las funciones son una base definida sobre el área de soporte circular, típicamente los planos pupilares en imágenes ópticas clásicas en longitudes de onda visibles e infrarrojas a través de sistemas de lentes y espejos de diámetro finito. Sus ventajas son las propiedades analíticas simples heredadas de la simplicidad de las funciones radiales y la factorización en funciones radiales y azimutales; esto conduce, por ejemplo, a expresiones de forma cerrada de la transformada de Fourier bidimensional en términos de funciones de Bessel. ^{[12] [13]} Su desventaja, en particular si se trata de n altos , es la distribución desigual de líneas nodales sobre el disco unitario, que introduce efectos de timbre cerca del perímetro , lo que a menudo conduce a intentos de definir otras funciones ortogonales sobre el disco circular. ^{[14] [15] [16]}${\displaystyle \rho \approx 1}$

En la fabricación óptica de precisión, los polinomios de Zernike se utilizan para caracterizar errores de orden superior observados en análisis interferométricos. En sensores de pendiente de frente de onda como el Shack-Hartmann , los coeficientes de Zernike del frente de onda se pueden obtener ajustando las pendientes medidas con las derivadas del polinomio de Zernike promediadas sobre las subaperturas de muestreo. ^[17] En optometría y oftalmología , los polinomios de Zernike se utilizan para describir aberraciones del frente de onda de la córnea o el cristalino a partir de una forma esférica ideal, que dan lugar a errores de refracción . También se utilizan habitualmente en óptica adaptativa , donde se pueden utilizar para caracterizar la distorsión atmosférica . Las aplicaciones obvias para esto son la astronomía IR o visual y las imágenes por satélite .

Otra aplicación de los polinomios de Zernike se encuentra en la teoría extendida de Nijboer-Zernike de difracción y aberraciones.

Los polinomios de Zernike se utilizan ampliamente como funciones base de los momentos de imagen . Dado que los polinomios de Zernike son ortogonales entre sí, los momentos de Zernike pueden representar propiedades de una imagen sin redundancia o superposición de información entre los momentos. Aunque los momentos de Zernike dependen significativamente de la escala y la traslación del objeto en una región de interés (ROI), sus magnitudes son independientes del ángulo de rotación del objeto. ^[18] Por lo tanto, se pueden utilizar para extraer características de imágenes que describen las características de forma de un objeto. Por ejemplo, los momentos de Zernike se utilizan como descriptores de forma para clasificar masas mamarias benignas y malignas ^[19] o la superficie de discos vibratorios. ^[20] Los momentos de Zernike también se han utilizado para cuantificar la forma de las líneas celulares de cáncer de osteosarcoma a nivel de célula única. ^[21] Además, los momentos de Zernike se han utilizado para la detección temprana de la enfermedad de Alzheimer mediante la extracción de información discriminativa de las imágenes de RM de la enfermedad de Alzheimer, deterioro cognitivo leve y grupos sanos. ^[22]

El concepto se traduce a dimensiones superiores D si los multinomios en coordenadas cartesianas se convierten en coordenadas hiperesféricas , , multiplicadas por un producto de polinomios de Jacobi de las variables angulares. En dimensiones, las variables angulares son armónicos esféricos , por ejemplo. Las combinaciones lineales de las potencias definen una base ortogonal que satisface ${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$${\displaystyle D=3}$${\displaystyle \rho ^{s}}$${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$.

(Tenga en cuenta que aquí se absorbe un factor en la definición de R , mientras que en la normalización se elige de forma ligeramente diferente. Esto es en gran medida una cuestión de gusto, dependiendo de si uno desea mantener un conjunto entero de coeficientes o prefiere fórmulas más estrictas si está involucrada la ortogonalización). La representación explícita es ^[3]${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

para incluso , de lo contrario idéntico a cero. ${\displaystyle n-l\geq 0}$

• Polinomios de Jacobi
• Teoría de Nijboer-Zernike
• Polinomios pseudo-Zernike

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• El sitio web ampliado de Nijboer-Zernike
• Código MATLAB para el cálculo rápido de momentos de Zernike
• Biblioteca Python/NumPy para calcular polinomios de Zernike
• Aberraciones de Zernike en Telescope Optics
• Ejemplo: uso de WolframAlpha para trazar polinomios de Zernike
• orthopy, un paquete de Python que calcula polinomios ortogonales (incluidos los polinomios de Zernike)