Filtro coincidente

En el procesamiento de señales , la salida del filtro adaptado se obtiene correlacionando una señal retardada conocida , o plantilla , con una señal desconocida para detectar la presencia de la plantilla en la señal desconocida. ^{[1] [2]} Esto es equivalente a convolucionar la señal desconocida con una versión conjugada en el tiempo invertido de la plantilla. El filtro adaptado es el filtro lineal óptimo para maximizar la relación señal-ruido (SNR) en presencia de ruido estocástico aditivo .

Los filtros adaptados se utilizan habitualmente en radares , en los que se envía una señal conocida y se examina la señal reflejada en busca de elementos comunes de la señal saliente. La compresión de pulsos es un ejemplo de filtrado adaptado. Se denomina así porque la respuesta al impulso se adapta a las señales de pulso de entrada. Los filtros adaptados bidimensionales se utilizan habitualmente en el procesamiento de imágenes , por ejemplo, para mejorar la relación señal-ruido de las observaciones de rayos X. Otras aplicaciones destacables son la sismología y la astronomía de ondas gravitacionales .

El filtrado adaptado es una técnica de demodulación con filtros LTI (invariantes en el tiempo lineales) para maximizar la relación señal-ruido. ^[3] Originalmente también se conocía como filtro Norte . ^[4]

En la siguiente sección se obtiene el filtro adaptado para un sistema de tiempo discreto . La obtención para un sistema de tiempo continuo es similar, pero las sumas se reemplazan por integrales.

El filtro adaptado es el filtro lineal, , que maximiza la relación señal-ruido de salida . ${\estilo de visualización h}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _ {k=-\infty }^{\infty }h[nk]x[k],}$

donde es la entrada en función de la variable independiente , y es la salida filtrada. Aunque la mayoría de las veces expresamos los filtros como la respuesta al impulso de los sistemas de convolución, como se indicó anteriormente (consulte la teoría de sistemas LTI ), es más fácil pensar en el filtro adaptado en el contexto del producto interno , que veremos en breve. ${\estilo de visualización x[k]}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle y[n]}$

Podemos derivar el filtro lineal que maximiza la relación señal-ruido de salida invocando un argumento geométrico. La intuición detrás del filtro adaptado se basa en correlacionar la señal recibida (un vector) con un filtro (otro vector) que es paralelo a la señal, maximizando el producto interno. Esto mejora la señal. Cuando consideramos el ruido estocástico aditivo, tenemos el desafío adicional de minimizar la salida debido al ruido al elegir un filtro que sea ortogonal al ruido.

Definamos formalmente el problema. Buscamos un filtro, , tal que maximicemos la relación señal-ruido de salida, donde la salida es el producto interno del filtro y la señal observada . ${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización x}$

Nuestra señal observada consta de la señal deseada y ruido aditivo : ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización v}$

${\displaystyle \ x=s+v.\,}$

Definamos la matriz de autocorrelación del ruido, recordando que esta matriz tiene simetría hermítica , propiedad que será útil en la derivación:

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}\,}$

donde denota la transpuesta conjugada de , y denota la expectativa (nótese que en caso de que el ruido tenga media cero, su matriz de autocorrelación es igual a su matriz de covarianza ). ${\displaystyle v^{\mathrm {H} }}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización v}$$Estilo de visualización R_{v}}$

Llamemos a nuestra salida, , el producto interno de nuestro filtro y la señal observada tal que ${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle \ y=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h^{*}[k]x[k]=h^{\mathrm {H} }x=h^{\mathrm {H} }s+h^{\mathrm {H} }v=y_{s}+y_{v}.}$

Ahora definimos la relación señal-ruido, que es nuestra función objetivo, como la relación entre la potencia de la salida debida a la señal deseada y la potencia de la salida debida al ruido:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}$

Reescribimos lo anterior:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2} \}}}.}$

Deseamos maximizar esta cantidad eligiendo . Desarrollando el denominador de nuestra función objetivo, tenemos ${\estilo de visualización h}$

${\displaystyle \ E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}=E\{(h^{\mathrm {H} }v){(h^{\mathrm {H } }v)}^{\mathrm {H} }\}=h^{\mathrm {H} }E\{vv^{\mathrm {H} }\}h=h^{\mathrm {H} } R_{v}h.\,}$

Ahora, nuestro se convierte ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Reescribiremos esta expresión con alguna manipulación de matrices. La razón de esta medida aparentemente contraproducente se hará evidente en breve. Aprovechando la simetría hermítica de la matriz de autocorrelación , podemos escribir $Estilo de visualización R_{v}}$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s )|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}},}$

Nos gustaría encontrar un límite superior para esta expresión. Para ello, primero reconocemos una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \ |a^{\mathrm {H} }b|^{2}\leq (a^{\mathrm {H} }a)(b^{\mathrm {H} }b),\,}$

es decir, que el cuadrado del producto interno de dos vectores solo puede ser tan grande como el producto de los productos internos individuales de los vectores. Este concepto vuelve a la intuición detrás del filtro adaptado: este límite superior se logra cuando los dos vectores y son paralelos. Reanudamos nuestra derivación expresando el límite superior de nuestro a la luz de la desigualdad geométrica anterior: ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq {\frac {\left[{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)\right]\left[{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)\right]}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}.}$

Nuestra valiente manipulación de matrices ha dado sus frutos. Vemos que la expresión para nuestro límite superior se puede simplificar enormemente:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s )|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq s^ {\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Podemos alcanzar este límite superior si lo elegimos,

${\displaystyle \ R_{v}^{1/2}h=\alpha R_{v}^{-1/2}s}$

donde es un número real arbitrario. Para verificarlo, introducimos en nuestra expresión la salida : ${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}={\frac {\alpha ^{2}|{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{\alpha ^{2}{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)}}={\frac {|s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s|^{2}}{s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Por lo tanto, nuestro filtro adaptado óptimo es

${\displaystyle \ h=\alpha R_{v}^{-1}s.}$

A menudo optamos por normalizar el valor esperado de la potencia de la salida del filtro debido al ruido a la unidad. Es decir, limitamos

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=1.\,}$

Esta restricción implica un valor de , para el cual podemos resolver: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=\alpha ^{2}s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s=1,}$

flexible

${\displaystyle \ \alpha ={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}},}$

dándonos nuestro filtro normalizado,

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Si queremos escribir la respuesta al impulso del filtro para el sistema de convolución, es simplemente la inversión temporal conjugada compleja de la entrada . ${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

Aunque hemos derivado el filtro adaptado en tiempo discreto, podemos extender el concepto a sistemas de tiempo continuo si lo reemplazamos con la función de autocorrelación de tiempo continuo del ruido, asumiendo una señal continua , un ruido continuo y un filtro continuo . ${\displaystyle R_{v}}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle h(t)}$

Como alternativa, podemos resolver el problema de maximización del filtro adaptado con un lagrangiano. Nuevamente, el filtro adaptado intenta maximizar la relación señal-ruido de salida ( ) de una señal determinista filtrada en ruido aditivo estocástico. La secuencia observada, nuevamente, es ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ x=s+v,\,}$

con la matriz de autocorrelación de ruido,

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}$

La relación señal-ruido es

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}},}$

donde y . ${\displaystyle y_{s}=h^{\mathrm {H} }s}$${\displaystyle y_{v}=h^{\mathrm {H} }v}$

Evaluando la expresión en el numerador, tenemos

${\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}$

y en el denominador,

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

La relación señal-ruido se convierte en

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Si ahora restringimos el denominador a 1, el problema de maximizar se reduce a maximizar el numerador. Podemos entonces formular el problema utilizando un multiplicador de Lagrange : ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}$

${\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}$

${\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}$

que reconocemos como un problema de valor propio generalizado

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}$

Como es de rango unitario, solo tiene un valor propio distinto de cero. Se puede demostrar que este valor propio es igual a ${\displaystyle ss^{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}$

obteniendo el siguiente filtro adaptado óptimo

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Este es el mismo resultado encontrado en la subsección anterior.

El filtrado emparejado también se puede interpretar como un estimador de mínimos cuadrados para la ubicación y escala óptimas de un modelo o plantilla determinados. Una vez más, definamos la secuencia observada como

${\displaystyle \ x_{k}=s_{k}+v_{k},\,}$

donde es ruido de media cero no correlacionado. Se supone que la señal es una versión escalada y desplazada de una secuencia de modelo conocida : ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \ s_{k}=\mu _{0}\cdot f_{k-j_{0}}}$

Queremos encontrar estimaciones óptimas para el cambio y escala desconocidos minimizando los residuos de mínimos cuadrados entre la secuencia observada y una "secuencia de sondeo" : ${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle h_{j-k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\sum _{k}\left(x_{k}-\mu \cdot h_{j-k}\right)^{2}}$

El filtro apropiado se convertirá más tarde en el filtro adecuado, pero aún no se ha especificado. Al expandir y elevar al cuadrado la suma se obtiene ${\displaystyle h_{j-k}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\left[\sum _{k}(s_{k}+v_{k})^{2}+\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}-2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-2\mu \sum _{k}v_{k}h_{j-k}\right].}$

El primer término entre paréntesis es una constante (ya que se da la señal observada) y no tiene influencia en la solución óptima. El último término tiene un valor esperado constante porque el ruido no está correlacionado y tiene media cero. Por lo tanto, podemos eliminar ambos términos de la optimización. Después de invertir el signo, obtenemos el problema de optimización equivalente.

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \max _{j,\mu }\left[2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}\right].}$

Al establecer la derivada con respecto a cero se obtiene una solución analítica para : ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu ^{*}}$

${\displaystyle \ \mu ^{*}={\frac {\sum _{k}s_{k}h_{j-k}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

Insertar esto en nuestra función objetivo produce un problema de maximización reducido para solo : ${\displaystyle j^{*}}$

${\displaystyle \ j^{*}=\arg \max _{j}{\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

El numerador se puede acotar superiormente mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \ {\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}\leq {\frac {\sum _{k}s_{k}^{2}\cdot \sum _{k}h_{j-k}^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}=\sum _{k}s_{k}^{2}={\text{constant}}.}$

El problema de optimización supone su máximo cuando se cumple la igualdad en esta expresión. Según las propiedades de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, esto sólo es posible cuando

${\displaystyle \ h_{j-k}=\nu \cdot s_{k}=\kappa \cdot f_{k-j_{0}}.}$

para constantes arbitrarias distintas de cero o , y la solución óptima se obtiene en como se desea. Por lo tanto, nuestra "secuencia de sondeo" debe ser proporcional al modelo de señal , y la elección conveniente produce el filtro adaptado ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle j^{*}=j_{0}}$${\displaystyle h_{j-k}}$${\displaystyle f_{k-j_{0}}}$${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle \ h_{k}=f_{-k}.}$

Tenga en cuenta que el filtro es el modelo de señal reflejado. Esto garantiza que la operación que se debe aplicar para encontrar el óptimo es, de hecho, la convolución entre la secuencia observada y el filtro adaptado . La secuencia filtrada asume su máximo en la posición donde la secuencia observada coincide mejor (en un sentido de mínimos cuadrados) con el modelo de señal . ${\displaystyle \sum _{k}x_{k}h_{j-k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$

El filtro adaptado se puede derivar de diversas maneras, ^[2] pero como un caso especial de un procedimiento de mínimos cuadrados también se puede interpretar como un método de máxima verosimilitud en el contexto de un modelo de ruido gaussiano (coloreado) y la verosimilitud de Whittle asociada . ^{[5] Si la señal transmitida} no poseyera parámetros desconocidos (como tiempo de llegada, amplitud,...), entonces el filtro adaptado minimizaría, según el lema de Neyman-Pearson , la probabilidad de error. Sin embargo, dado que la señal exacta generalmente está determinada por parámetros desconocidos que efectivamente se estiman (o ajustan ) en el proceso de filtrado, el filtro adaptado constituye una estadística (de prueba) de máxima verosimilitud generalizada . ^[6] La serie temporal filtrada se puede interpretar entonces como (proporcional a) la verosimilitud del perfil , la verosimilitud condicional maximizada como una función del parámetro de tiempo. ^[7] Esto implica en particular que la probabilidad de error (en el sentido de Neyman y Pearson, es decir, en relación con la maximización de la probabilidad de detección para una probabilidad de falsa alarma dada ^[8] ) no es necesariamente óptima. Lo que comúnmente se conoce como la relación señal-ruido (SNR) , que se supone que se maximiza mediante un filtro adaptado, en este contexto corresponde a , donde es la razón de verosimilitud maximizada (condicionalmente). ^{[7] [nb 1]}${\displaystyle {\sqrt {2\log({\mathcal {L}})}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La construcción del filtro adaptado se basa en un espectro de ruido conocido . Sin embargo, en la realidad, el espectro de ruido suele estimarse a partir de datos y, por lo tanto, solo se conoce con una precisión limitada. En el caso de un espectro incierto, el filtro adaptado se puede generalizar a un procedimiento iterativo más robusto con propiedades favorables también en ruido no gaussiano. ^[7]

Cuando se observa en el dominio de frecuencia, es evidente que el filtro adaptado aplica la mayor ponderación a los componentes espectrales que exhiben la mayor relación señal-ruido (es decir, gran peso donde el ruido es relativamente bajo, y viceversa). En general, esto requiere una respuesta de frecuencia no plana, pero la "distorsión" asociada no es motivo de preocupación en situaciones como el radar y las comunicaciones digitales , donde se conoce la forma de onda original y el objetivo es la detección de esta señal contra el ruido de fondo. Desde el punto de vista técnico, el filtro adaptado es un método de mínimos cuadrados ponderado basado en los datos del dominio de frecuencia ( heteroscedásticos ) (donde los "pesos" se determinan a través del espectro de ruido, consulte también la sección anterior), o equivalentemente, un método de mínimos cuadrados aplicado a los datos blanqueados .

Los filtros adaptados se utilizan a menudo en la detección de señales . ^[1] Como ejemplo, supongamos que deseamos calcular la distancia de un objeto reflejando una señal de él. Podemos optar por transmitir una sinusoide de tono puro a 1 Hz. Suponemos que nuestra señal recibida es una forma atenuada y desfasada de la señal transmitida con ruido añadido.

Para juzgar la distancia del objeto, correlacionamos la señal recibida con un filtro adaptado, que, en el caso del ruido blanco (no correlacionado) , es otra sinusoide de 1 Hz de tono puro. Cuando la salida del sistema de filtro adaptado supera un cierto umbral, concluimos con alta probabilidad que la señal recibida se ha reflejado en el objeto. Usando la velocidad de propagación y el momento en que observamos por primera vez la señal reflejada, podemos estimar la distancia del objeto. Si cambiamos la forma del pulso de una manera especialmente diseñada, la relación señal-ruido y la resolución de la distancia pueden incluso mejorarse después del filtrado adaptado: esta es una técnica conocida como compresión de pulsos .

Además, los filtros adaptados se pueden utilizar en problemas de estimación de parámetros (véase teoría de estimación ). Para volver a nuestro ejemplo anterior, podemos desear estimar la velocidad del objeto, además de su posición. Para explotar el efecto Doppler , nos gustaría estimar la frecuencia de la señal recibida. Para ello, podemos correlacionar la señal recibida con varios filtros adaptados de sinusoides a frecuencias variables. El filtro adaptado con la salida más alta revelará, con alta probabilidad, la frecuencia de la señal reflejada y nos ayudará a determinar la velocidad radial del objeto, es decir, la velocidad relativa ya sea directamente hacia o lejos del observador. Este método es, de hecho, una versión simple de la transformada discreta de Fourier (DFT) . La DFT toma una entrada compleja de valor y la correlaciona con filtros adaptados, correspondientes a exponenciales complejos a diferentes frecuencias, para producir números de valor complejo correspondientes a las amplitudes y fases relativas de los componentes sinusoidales (véase Indicación de objetivo móvil ). ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

El filtro adaptado también se utiliza en comunicaciones. En el contexto de un sistema de comunicación que envía mensajes binarios desde el transmisor al receptor a través de un canal ruidoso, se puede utilizar un filtro adaptado para detectar los pulsos transmitidos en la señal recibida ruidosa.

Imaginemos que queremos enviar la secuencia “0101100100” codificada en no polar sin retorno a cero (NRZ) a través de un canal determinado.

Matemáticamente, una secuencia en código NRZ se puede describir como una secuencia de pulsos unitarios o funciones rect desplazadas , cada pulso se pondera en +1 si el bit es "1" y en -1 si el bit es "0". Formalmente, el factor de escala para el bit es, ${\displaystyle k^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \ a_{k}={\begin{cases}+1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}1,\\-1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}0.\end{cases}}}$

Podemos representar nuestro mensaje, , como la suma de pulsos unitarios desplazados: ${\displaystyle M(t)}$

${\displaystyle \ M(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}\times \Pi \left({\frac {t-kT}{T}}\right).}$

donde es la longitud de tiempo de un bit y es la función rectangular . ${\displaystyle T}$${\displaystyle \Pi (x)}$

Por lo tanto, la señal que debe enviar el transmisor es

Si modelamos nuestro canal ruidoso como un canal AWGN , se agrega ruido gaussiano blanco a la señal. En el extremo del receptor, para una relación señal-ruido de 3 dB, esto podría verse así:

A primera vista no se puede ver la secuencia original transmitida. Hay una alta potencia de ruido en relación con la potencia de la señal deseada (es decir, hay una baja relación señal-ruido ). Si el receptor muestreara esta señal en los momentos correctos, el mensaje binario resultante podría ser incorrecto.

Para aumentar nuestra relación señal-ruido, pasamos la señal recibida a través de un filtro adaptado. En este caso, el filtro debe adaptarse a un pulso NRZ (equivalente a un "1" codificado en código NRZ). Precisamente, la respuesta al impulso del filtro adaptado ideal, suponiendo que hay ruido blanco (no correlacionado), debe ser una versión escalada compleja conjugada en el tiempo invertida de la señal que estamos buscando. Elegimos

${\displaystyle \ h(t)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right).}$

En este caso, debido a la simetría, el conjugado complejo invertido en el tiempo de es de hecho , lo que nos permite llamar a la respuesta al impulso de nuestro sistema de convolución de filtro adaptado. ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle h(t)}$

Después de convolucionar con el filtro adaptado correctamente, la señal resultante es, ${\displaystyle M_{\mathrm {filtered} }(t)}$

${\displaystyle \ M_{\mathrm {filtered} }(t)=(M*h)(t)}$

donde denota convolución. ${\displaystyle *}$

Que ahora el receptor puede muestrear de forma segura en los instantes de muestreo correctos y compararlo con un umbral apropiado, dando como resultado una interpretación correcta del mensaje binario.

Los filtros adaptados desempeñan un papel central en la astronomía de ondas gravitacionales . ^[9] La primera observación de ondas gravitacionales se basó en el filtrado a gran escala de la salida de cada detector para señales que se asemejaran a la forma esperada, seguido de una detección posterior de disparadores coincidentes y coherentes entre ambos instrumentos. ^[10] Las tasas de falsas alarmas y, con ello, la significación estadística de la detección se evaluaron utilizando métodos de remuestreo . ^{[11] [12]} La inferencia sobre los parámetros de la fuente astrofísica se completó utilizando métodos bayesianos basados ​​en modelos teóricos parametrizados para la forma de onda de la señal y (de nuevo) en la probabilidad de Whittle . ^{[13] [14]}

Los filtros adaptados se utilizan en sismología para detectar terremotos similares u otras señales sísmicas, a menudo utilizando plantillas determinadas empíricamente de múltiples componentes y/o múltiples canales. ^[15] Las aplicaciones de filtrado adaptado en sismología incluyen la generación de grandes catálogos de eventos para estudiar la sismicidad de los terremotos ^[16] y la actividad volcánica, ^{[17] [18]} y en la detección global de explosiones nucleares. ^[19]

Los animales que viven en entornos relativamente estáticos tendrían que percibir características relativamente fijas del entorno, lo que permite la evolución de filtros que hacen coincidir la señal esperada con la mayor relación señal-ruido, el filtro adaptado. ^[20] Los sensores que perciben el mundo "a través de un 'filtro adaptado' de este tipo limitan severamente la cantidad de información que el cerebro puede captar del mundo exterior, pero lo liberan de la necesidad de realizar cálculos más complejos para extraer la información que finalmente se necesita para cumplir una tarea en particular". ^[21]

• Periodograma
• Retroproyección filtrada (transformación de Radon)
• Filtro digital
• Procesamiento estadístico de señales
• Reducir la probabilidad
• Probabilidad de perfil
• Teoría de la detección
• Problema de comparaciones múltiples
• Capacidad del canal
• Teorema de codificación de canal ruidoso
• Estimación de la densidad espectral
• Filtro de mínimos cuadrados medios (LMS)
• Filtro de Viena
• Clasificación de múltiples señales (MUSIC), un método de superresolución paramétrica popular
• SAMV

• Turín, GL (1960). "Introducción a los filtros adaptados". IRE Transactions on Information Theory . 6 (3): 311–329. doi :10.1109/TIT.1960.1057571. S2CID  5128742.
• Wainstein, LA; Zubakov, VD (1962). Extracción de señales a partir del ruido . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall .
• Melvin, WL (2004). "Una visión general de STAP". Revista IEEE Aerospace and Electronic Systems . 19 (1): 19–35. doi :10.1109/MAES.2004.1263229. S2CID  31133715.
• Röver, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para detección robusta de señales". Physical Review D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bibliográfico :2011PhRvD..84l2004R. doi :10.1103/PhysRevD.84.122004.
• Fish, A.; Gurevich, S.; Hadani, R.; Sayeed, A.; Schwartz, O. (diciembre de 2011). "Cálculo del filtro adaptado en tiempo lineal". arXiv : 1112.4883 [cs.IT].