Poder de convolución

En matemáticas , la potencia de convolución es la iteración n veces mayor de la convolución consigo misma. Por lo tanto, si${\displaystyle x}$es una función en el espacio euclidiano R ^d y${\displaystyle n}$es un número natural , entonces la potencia de convolución se define por

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

donde ∗ denota la operación de convolución de funciones en R ^d y δ ₀ es la distribución delta de Dirac . Esta definición tiene sentido si x es una función integrable (en L ¹ ), una distribución decreciente rápidamente (en particular, una distribución con soporte compacto) o es una medida de Borel finita .

Si x es la función de distribución de una variable aleatoria en la recta real, entonces la n ^-ésima potencia de convolución de x da la función de distribución de la suma de n variables aleatorias independientes con distribución idéntica x . El teorema del límite central establece que si x está en L ¹ y L ² con media cero y varianza σ ² , entonces

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm {{cuando}\ n\to \infty }}}$

donde Φ es la distribución normal estándar acumulada en la recta real. Equivalentemente,${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$Tiende débilmente a la distribución normal estándar.

En algunos casos, es posible definir potencias x ^{* t} para cualquier número real t  >  0. Si μ es una medida de probabilidad , entonces μ es infinitamente divisible siempre que exista, para cada entero positivo n , una medida de probabilidad μ _{1/ n} tal que

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu .}$

Es decir, una medida es infinitamente divisible si es posible definir todas las raíces n- ésimas. No toda medida de probabilidad es infinitamente divisible, y una caracterización de las medidas infinitamente divisibles es de vital importancia en la teoría abstracta de los procesos estocásticos . Intuitivamente, una medida debería ser infinitamente divisible siempre que tenga un "logaritmo de convolución" bien definido. Los candidatos naturales para medidas que poseen dicho logaritmo son las de tipo Poisson (generalizado) , dadas en la forma

${\displaystyle \pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}\mu ^{*n}.}$

De hecho, el teorema de Lévy-Khinchin establece que una condición necesaria y suficiente para que una medida sea infinitamente divisible es que debe estar en la clausura, con respecto a la topología vaga , de la clase de medidas de Poisson ( Stroock 1993 , §3.2) .

Muchas aplicaciones de la potencia de convolución dependen de poder definir el análogo de las funciones analíticas como series de potencias formales con potencias reemplazadas por la potencia de convolución. Por lo tanto, si${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}z^{n}}}$es una función analítica, entonces uno querría poder definirla

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

Si x  ∈ L ¹ ( R ^d ) o más generalmente es una medida de Borel finita en R ^d , entonces la última serie converge absolutamente en norma siempre que la norma de x sea menor que el radio de convergencia de la serie original que define F ( z ). En particular, es posible que tales medidas definan la exponencial convolucional 

${\displaystyle \exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}.}$

En general, no es posible extender esta definición a distribuciones arbitrarias, aunque Ben Chrouda, El Oued y Ouerdiane (2002) identifican una clase de distribuciones en las que esta serie aún converge en un sentido débil apropiado .

Si x es en sí mismo suficientemente diferenciable, entonces a partir de las propiedades de la convolución, se tiene

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)}=x*{\mathcal {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {D}}}$denota el operador de derivada . Específicamente, esto se cumple si x es una distribución con soporte compacto o se encuentra en el espacio de Sobolev W ^1,1 para asegurar que la derivada sea suficientemente regular para que la convolución esté bien definida.

En el grafo aleatorio de configuración, la distribución de tamaño de los componentes conectados se puede expresar mediante la potencia de convolución de la distribución de grado en exceso ( Kryven (2017) ):

${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1.\end{cases}}}$

Aquí,${\displaystyle w(n)}$es la distribución de tamaño para componentes conectados,${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$es la distribución de grados en exceso, y${\displaystyle u(k)}$denota la distribución de grados .

Como las álgebras de convolución son casos especiales de las álgebras de Hopf , la potencia de convolución es un caso especial de la potencia (ordinaria) en un álgebra de Hopf. En aplicaciones a la teoría cuántica de campos , la exponencial de convolución, el logaritmo de convolución y otras funciones analíticas basadas en la convolución se construyen como series de potencias formales en los elementos del álgebra ( Brouder, Frabetti y Patras 2008 ) . Si, además, el álgebra es un álgebra de Banach , entonces la convergencia de la serie se puede determinar como se indicó anteriormente. En el contexto formal, identidades familiares como

${\displaystyle x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)}$

Siguen siendo válidas. Además, debido a la permanencia de las relaciones funcionales, se mantienen a nivel de funciones, siempre que todas las expresiones estén bien definidas en un conjunto abierto mediante series convergentes.

• Circunvolución
• Teorema de convolución
• transformada de Fourier
• Serie Taylor

• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tomo II , Herman, París.
• Horváth, John (1966), Espacios vectoriales topológicos y distribuciones , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, EE. UU..
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), "Cálculo de convolución y aplicaciones a ecuaciones diferenciales estocásticas", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388 , ISSN 0250-3255 , MR 1953702  .
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). "Descomposición en funciones de Green irreducibles de una partícula en física de muchos cuerpos". arXiv : 0803.3747 [ cond-mat.str-el ]..
• Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II. , Segunda edición, Nueva York: John Wiley & Sons , MR 0270403 .
• Stroock, Daniel W. (1993), Teoría de la probabilidad, una perspectiva analítica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR 1267569 .
• Kryven, I (2017), "Expresión general para la distribución del tamaño de los componentes en redes de configuración infinita", Physical Review E , 95 (5) 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID 28618550 , S2CID 8421307  .