Cociente de convolución

En matemáticas , un espacio de cocientes de convolución es un campo de fracciones de un anillo de convolución de funciones: un cociente de convolución es a la operación de convolución lo que un cociente de números enteros es a la multiplicación . La construcción de cocientes de convolución permite una representación algebraica sencilla de la función delta de Dirac , el operador integral y el operador diferencial sin tener que tratar directamente con transformadas integrales , que a menudo están sujetas a dificultades técnicas con respecto a si convergen o no.

Los cocientes de convolución fueron introducidos por Mikusiński  (1949), y su teoría a veces se denomina cálculo operacional de Mikusiński .

El tipo de convolución del que trata esta teoría se define por ${\textstyle (f,g)\mapsto f*g}$

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{0}^{x}f(u)g(x-u)\,du.}$

Del teorema de convolución de Titchmarsh se desprende que si la convolución de dos funciones que son continuas en es igual a 0 en todas partes de ese intervalo, entonces al menos una de ellas es 0 en todas partes de ese intervalo. Una consecuencia es que si son continuas en entonces solo si Este hecho permite definir cocientes de convolución diciendo que para dos funciones ƒ ,  g , el par ( ƒ ,  g ) tiene el mismo cociente de convolución que el par ( h  *  ƒ , h  *  g ). ${\textstyle f*g}$${\textstyle f,g}$${\textstyle [0,+\infty )}$${\textstyle f,g}$${\textstyle f,g,h}$${\textstyle [0,+\infty )}$${\textstyle h*f=h*g}$${\textstyle f=g.}$

Al igual que en la construcción de los números racionales a partir de los enteros, el campo de cocientes de convolución es una extensión directa del anillo de convolución a partir del cual se construyó. Toda función "ordinaria" en el espacio original se inserta canónicamente en el espacio de cocientes de convolución como la (clase de equivalencia del) par , de la misma manera que los enteros ordinarios se insertan canónicamente en los números racionales. Los elementos no funcionales de nuestro nuevo espacio pueden considerarse como "operadores", o funciones generalizadas, cuya acción algebraica sobre las funciones está siempre bien definida incluso si no tienen representación en el espacio de funciones "ordinarias". ${\displaystyle f}$${\displaystyle (f*g,g)}$

Si comenzamos con un anillo de convolución de funciones de semirrecta positiva, la construcción anterior es idéntica en comportamiento a la transformada de Laplace , y los gráficos de conversión del espacio de Laplace ordinario pueden usarse para mapear expresiones que involucran operadores no funcionales a funciones ordinarias (si existen). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, el enfoque algebraico para la construcción del espacio evita la necesidad de definir explícitamente la transformada o su inversa, evitando una serie de problemas de convergencia técnicamente desafiantes con la construcción de la transformada integral "tradicional".

• Mikusiński, Jan G. (1949), "Sur les fondements du calcul opératoire", Studia Math. , 11 : 41–70, doi : 10.4064/sm-11-1-41-70, SEÑOR  0036949
• Mikusiński, Jan (1959) [1953], Cálculo operacional , Serie internacional de monografías sobre matemáticas puras y aplicadas, vol. 8, Nueva York-Londres-París-Los Ángeles: Pergamon Press, MR  0105594