Desaparecer en el infinito

En matemáticas , se dice que una función se anula en el infinito si sus valores tienden a cero a medida que la entrada crece sin límite. Existen dos formas distintas de definir esto: una se aplica a funciones definidas en espacios vectoriales normados y la otra a funciones definidas en espacios localmente compactos . Aparte de esta diferencia, ambas nociones corresponden a la idea intuitiva de añadir un punto en el infinito y de exigir que los valores de la función se acerquen arbitrariamente a cero a medida que uno se aproxima a él. Esta definición puede formalizarse en muchos casos añadiendo un punto (real) en el infinito .

Una función${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {C} }$en un espacio vectorial normado${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$Se dice que se desvanece en el infinito si los valores de la función se aproximan.${\displaystyle 0}$a medida que la entrada crece sin límites (es decir,${\displaystyle f(x)\to 0}$como${\displaystyle \|x\|\to \infty }$), es decir,

${\displaystyle \lim _{\|x\|\to \infty }f(x)=0.}$

En la línea real${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, esto se simplifica a

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0.}$

Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}},}$

definida en la recta real , se anula en el infinito.

Alternativamente, una función${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {K} }$en un espacio localmente compacto${\displaystyle \Omega }$se desvanece en el infinito , si se le da cualquier número positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un subconjunto compacto${\displaystyle K\subseteq \Omega }$de tal manera que ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \forall x\in \Omega \setminus K\,,\quad |f(x)|<\varepsilon .}$

En otras palabras, para cada número positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$, el conjunto${\displaystyle \left\{x\in \Omega$ :|f(x)|\geq \varepsilon \right\}} tiene cierre compacto. Para un espacio localmente compacto dado${\displaystyle \Omega }$, el conjunto de tales funciones

${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {K} }$

valorado en${\displaystyle \mathbb {K} ,}$que es o${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} ,}$forma una${\displaystyle \mathbb {K} }$- espacio vectorial con respecto a la multiplicación y suma escalar puntual , que a menudo se denota${\displaystyle C_{0}(\Omega).}$

Como ejemplo, la función

${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{x+y}}}$

dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son reales mayores o iguales a 1 y corresponden al punto${\displaystyle (x,y)}$en${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 1}^{2}}$se desvanece en el infinito.

Un espacio normado es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita, por lo que en este caso particular, existen dos definiciones diferentes de una función "que se anula en el infinito". Las dos definiciones podrían ser inconsistentes entre sí: si${\displaystyle f(x)=\|x\|^{-1}}$en un espacio de Banach de dimensión infinita , entonces${\displaystyle f}$se desvanece en el infinito por el${\displaystyle \|f(x)\|\to 0}$definición, pero no por la definición de conjunto compacto.

Refinando el concepto, se puede observar más de cerca la tasa de anulación de funciones en el infinito. Una de las intuiciones básicas del análisis matemático es que la transformada de Fourier intercambia condiciones de suavidad con condiciones de tasa de anulación en el infinito. Usando la notación de la gran O , las funciones de prueba de rápida disminución de la teoría de distribución temperada son funciones suaves que son

${\displaystyle O\left(|x|^{-N}\right)}$

a pesar de${\displaystyle N}$, como${\displaystyle |x|\to \infty }$y de tal manera que todas sus derivadas parciales también satisfacen la misma condición. Esta condición se establece de forma que sea autodual bajo la transformada de Fourier, de modo que la teoría de distribución correspondiente de distribuciones temperadas tendrá la misma propiedad.

• Infinito – Concepto matemático 
• Recta real extendida proyectivamente : números reales con un punto añadido en el infinito. 
• Cero de una función : punto donde el valor de la función es cero. 

• Hewitt, E y Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )