Anillo de endomorfismo

En matemáticas , los endomorfismos de un grupo abeliano X forman un anillo . Este anillo se denomina anillo de endomorfismos de X , denotado por End( X ); es el conjunto de todos los homomorfismos de X en sí mismo. La suma de endomorfismos surge naturalmente de forma puntual y la multiplicación mediante la composición de endomorfismos . Mediante estas operaciones, el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo (unitario), con la aplicación cero.${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ como identidad aditiva y el mapa de identidad${\textstyle 1:x\mapsto x}$como identidad multiplicativa . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Las funciones involucradas se limitan a lo que se define como homomorfismo en el contexto, lo cual depende de la categoría del objeto considerado. En consecuencia, el anillo de endomorfismos codifica varias propiedades internas del objeto. Dado que el anillo de endomorfismos suele ser un álgebra sobre algún anillo R, también se le puede llamar álgebra de endomorfismos .

Un grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo de los enteros , que es el objeto inicial en la categoría de anillos . De manera similar, si R es un anillo conmutativo cualquiera , los endomorfismos de un R -módulo forman un álgebra sobre R mediante los mismos axiomas y derivación. En particular, si R es un cuerpo , sus módulos M son espacios vectoriales y el anillo de endomorfismos de cada uno es un álgebra sobre el cuerpo R.

Sea ( A , +) un grupo abeliano y consideremos los homomorfismos de grupo de A en A . Entonces, la suma de dos de estos homomorfismos se puede definir puntualmente para producir otro homomorfismo de grupo. Explícitamente, dados dos homomorfismos f y g , la suma de f y g es el homomorfismo f + g  : x ↦ f ( x ) + g ( x ) . Bajo esta operación, End( A ) es un grupo abeliano. Con la operación adicional de composición de homomorfismos, End( A ) es un anillo con identidad multiplicativa. Esta composición es explícitamente fg  : x ↦ f ( g ( x )) . La identidad multiplicativa es el homomorfismo identidad en A . Los inversos aditivos son los inversos puntuales.

Si el conjunto A no forma un grupo abeliano , entonces la construcción anterior no está necesariamente bien definida, ya que la suma de dos homomorfismos no tiene por qué ser un homomorfismo. ^{[ 3 ]} Sin embargo, el cierre del conjunto de endomorfismos bajo las operaciones anteriores es un ejemplo canónico de un casi anillo que no es un anillo.

• Los anillos de endomorfismo siempre tienen identidades aditivas y multiplicativas , respectivamente la aplicación cero y la aplicación identidad .
• Los anillos de endomorfismo son asociativos , pero típicamente no conmutativos .
• Si un módulo es simple , entonces su anillo de endomorfismos es un anillo de división (esto a veces se denomina lema de Schur ). ^{[ 4 ]}
• Un módulo es indescomponible si y solo si su anillo de endomorfismos no contiene ningún elemento idempotente no trivial . ^{[ 5 ]} Si el módulo es un módulo inyectivo , entonces la indescomponibilidad es equivalente a que el anillo de endomorfismos sea un anillo local . ^{[ 6 ]}
• Para un módulo semisimple , el anillo de endomorfismos es un anillo regular de von Neumann .
• El anillo de endomorfismos de un módulo uniserial derecho no nulo tiene uno o dos ideales derechos maximales. Si el módulo es artiniano, noetheriano, proyectivo o inyectivo, entonces el anillo de endomorfismos tiene un único ideal maximal, por lo que es un anillo local.
• El anillo de endomorfismos de un módulo uniforme artiniano es un anillo local. ^{[ 7 ]}
• El anillo de endomorfismos de un módulo con longitud de composición finita es un anillo semiprimario .
• El anillo de endomorfismos de un módulo continuo o un módulo discreto es un anillo limpio . ^{[ 8 ]}
• Si un módulo R es finitamente generado y proyectivo (es decir, un progenerador ), entonces el anillo de endomorfismos del módulo y R comparten todas las propiedades invariantes de Morita. Un resultado fundamental de la teoría de Morita es que todos los anillos equivalentes a R surgen como anillos de endomorfismos de progeneradores.

• En la categoría de R - módulos , el anillo de endomorfismos de un R -módulo M solo utilizará los homomorfismos de R - módulos , que son típicamente un subconjunto propio de los homomorfismos de grupos abelianos. ^{[ 9 ]} Cuando M es un módulo proyectivo finitamente generado , el anillo de endomorfismos es fundamental para la equivalencia de Morita de las categorías de módulos.
• Para cualquier grupo abeliano${\displaystyle A}$,${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {Fin} (A))\cong \operatorname {Fin} (A^{n})}$, ya que cualquier matriz en${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$posee una estructura de homomorfismo natural de${\displaystyle A^{n}}$como sigue:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

Este isomorfismo puede utilizarse para construir muchos anillos de endomorfismos no conmutativos. Por ejemplo:${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$, desde${\displaystyle \operatorname {Fin} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$.

Además, cuando${\displaystyle R=K}$es un campo, hay un isomorfismo canónico${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$, entonces${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$, es decir, el anillo de endomorfismo de un${\displaystyle K}$El espacio vectorial se identifica con el anillo de matrices n -por -n con entradas en${\displaystyle K}$. ^{[ 10 ]} De manera más general, el álgebra de endomorfismos del módulo libre${\displaystyle M=R^{n}}$es naturalmente${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$matrices con entradas en el anillo${\displaystyle R}$.

• Como ejemplo particular del último punto, para cualquier anillo R con unidad, End( R _R ) = R , donde los elementos de R actúan sobre R mediante multiplicación por la izquierda .
• En general, se pueden definir anillos de endomorfismo para los objetos de cualquier categoría preaditiva .