Módulo uniforme

En álgebra abstracta , un módulo se denomina módulo uniforme si la intersección de dos submódulos no nulos cualesquiera es distinta de cero. Esto equivale a decir que todo submódulo no nulo de M es un submódulo esencial . Un anillo puede denominarse anillo uniforme por la derecha (izquierda) si es uniforme como módulo por la derecha (izquierda) sobre sí mismo.

Alfred Goldie empleó la noción de módulos uniformes para construir una medida de dimensión para módulos, ahora conocida como dimensión uniforme (o dimensión de Goldie ) de un módulo. La dimensión uniforme generaliza algunos, pero no todos, los aspectos de la noción de dimensión de un espacio vectorial . La dimensión uniforme finita fue una suposición clave para varios teoremas de Goldie, incluido el teorema de Goldie , que caracteriza qué anillos son órdenes correctos en un anillo semisimple . Los módulos de dimensión uniforme finita generalizan tanto los módulos artinianos como los módulos noetherianos .

En la literatura, la dimensión uniforme también se denomina simplemente dimensión de un módulo o rango de un módulo . La dimensión uniforme no debe confundirse con la noción relacionada, también debida a Goldie, de rango reducido de un módulo.

La uniformidad de un módulo no suele conservarse mediante productos directos o módulos cociente. La suma directa de dos módulos uniformes distintos de cero siempre contiene dos submódulos con intersección cero, a saber, los dos módulos sumando originales. Si N ₁ y N ₂ son submódulos propios de un módulo uniforme M y ninguno de los submódulos contiene al otro, entonces${\displaystyle M/(N_{1}\cap N_{2})}$no es uniforme, ya que

${\displaystyle N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}.}$

Los módulos uniseriales son uniformes, y los módulos uniformes son necesariamente indescomponibles directamente. Cualquier dominio conmutativo es un anillo uniforme, ya que si a y b son elementos no nulos de dos ideales, entonces el producto ab es un elemento no nulo en la intersección de los ideales.

El siguiente teorema permite definir una dimensión en módulos utilizando submódulos uniformes. Se trata de una versión modular de un teorema de espacio vectorial:

Teorema: Si U _i y V _j son miembros de una colección finita de submódulos uniformes de un módulo M tales que${\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}$y${\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}V_{i}}$Si ambos son submódulos esenciales de M , entonces n  = m . 

La dimensión uniforme de un módulo M , denotada por u.dim( M ), se define como n si existe un conjunto finito de submódulos uniformes U _i tales que${\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}$es un submódulo esencial de M. El teorema anterior asegura que este n está bien definido. Si no existe tal conjunto finito de submódulos, entonces u.dim( M ) se define como ∞. Al hablar de la dimensión uniforme de un anillo, es necesario especificar si se está midiendo u.dim( R _R ) o más bien u.dim( _R R ). Es posible tener dos dimensiones uniformes diferentes en lados opuestos de un anillo.

Si N es un submódulo de M , entonces u.dim( N )  ≤  u.dim( M ) con igualdad exactamente cuando N es un submódulo esencial de M. En particular, M y su envoltura inyectiva E ( M ) siempre tienen la misma dimensión uniforme. También es cierto que u.dim( M )  = n si y solo si E ( M ) es una suma directa de n módulos inyectivos indescomponibles . 

Se puede demostrar que u.dim( M )  =  ∞ si y solo si M contiene una suma directa infinita de submódulos no nulos. Por lo tanto, si M es noetheriano o artiniano, M tiene dimensión uniforme finita. Si M tiene una longitud de composición finita k , entonces u.dim( M )  ≤  k con igualdad exactamente cuando M es un módulo semisimple . ( Lam 1999 )

Un resultado estándar es que un dominio noetheriano derecho es un dominio de Ore derecho . De hecho, podemos recuperar este resultado de otro teorema atribuido a Goldie, que establece que las siguientes tres condiciones son equivalentes para un dominio D :

• D es correcto
• u.dim( D _D )  =  1
• u.dim( D _D )  <  ∞

La noción dual de un módulo uniforme es la de un módulo hueco : se dice que un módulo M es hueco si, cuando N ₁ y N ₂ son submódulos de M tales que${\displaystyle N_{1}+N_{2}=M}$, entonces o N ₁  = M o N ₂ = M . De manera equivalente, también se podría decir que todo submódulo propio de M es un submódulo superfluo .   

Estos módulos también admiten un análogo de dimensión uniforme, llamado dimensión couniforme , corango , dimensión hueca o dimensión dual de Goldie . Se realizaron estudios de módulos huecos y dimensión couniforme en ( Fleury 1974 ) , ( Reiter 1981 ) , ( Takeuchi 1976 ) , ( Varadarajan 1979 ) y ( Miyashita 1966 ) . Se advierte al lector que Fleury exploró formas distintas de dualizar la dimensión de Goldie. Las versiones de dimensión hueca de Varadarajan, Takeuchi y Reiter son posiblemente las más naturales. Grzeszczuk y Puczylowski en ( Grezeszcuk y Puczylowski 1984 ) dieron una definición de dimensión uniforme para retículos modulares tal que la dimensión hueca de un módulo era la dimensión uniforme de su retículo dual de submódulos.

Siempre se cumple que un módulo cogenerado finito tiene dimensión uniforme finita. Esto plantea la pregunta: ¿tiene un módulo finitamente generado dimensión hueca finita? La respuesta es no: se demostró en ( Sarath y Varadarajan 1979 ) que si un módulo M tiene dimensión hueca finita, entonces M / J ( M ) es un módulo semisimple artiniano . Hay muchos anillos con unidad para los cuales R / J ( R ) no es semisimple artiniano, y dado un anillo R de este tipo , R mismo es finitamente generado pero tiene dimensión hueca infinita.

Sarath y Varadarajan demostraron más tarde que el hecho de que M / J ( M ) sea semisimple artiniano también es suficiente para que M tenga dimensión hueca finita siempre que J ( M ) sea un submódulo superfluo de M . ^{[ 1 ]} Esto demuestra que los anillos R con dimensión hueca finita, ya sea como R -módulo izquierdo o derecho, son precisamente los anillos semilocales .

Una consecuencia adicional del resultado de Varadarajan es que R _R tiene dimensión hueca finita precisamente cuando _R R la tiene. Esto contrasta con el caso de dimensión uniforme finita, ya que se sabe que un anillo puede tener dimensión uniforme finita en un lado y dimensión uniforme infinita en el otro.

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 

• Fleury, Patrick (1974), "Una nota sobre la dualización de la dimensión de Goldie", Canadian Mathematical Bulletin , 17 (4): 511– 517, doi : 10.4153/cmb-1974-090-0
• Goldie, AW (1958), "La estructura de los anillos primos bajo condiciones de cadena ascendente", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 8 (4): 589– 608, doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 , ISSN 0024-6115 , MR 0103206  
• Goldie, AW (1960), "Anillos semiprimos con condición máxima", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 10 : 201–220 , doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 , ISSN 0024-6115 , MR 0111766  
• Grezeszcuk, P.; Puczylowski, E. (1984), "Sobre Goldie y la dimensión dual de Goldie", Journal of Pure and Applied Algebra , 31 ( 1–3 ): 47–55 , doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
• Hanna, A.; Shamsuddin, A. (1984), Dualidad en la categoría de módulos: Aplicaciones , Reinhard Fischer, ISBN 978-3889270177
• Miyashita, Y. (1966), "Módulos cuasiproyectivos, módulos perfectos y un teorema para retículos modulares", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. I , 19 : 86– 110, MR 0213390 
• Reiter, E. (1981), "Un dual a la condición de cadena ascendente de Goldie sobre sumas directas de submódulos", Bull. Calcutta Math. Soc. , 73 : 55– 63
• Sarath, B.; Varadarajan, K. (1979), "Dimensión dual de Goldie II", Communications in Algebra , 7 (17): 1885– 1899, doi : 10.1080/00927877908822434
• Takeuchi, T. (1976), "Sobre módulos de dimensión cofinita.", Hokkaido Mathematical Journal , 5 (1): 1– 43, doi : 10.14492/hokmj/1381758746 , ISSN 0385-4035 , MR 0213390  
• Varadarajan, K. (1979), "Dimensión dual de Goldie", Comm. Algebra , 7 (6): 565– 610, doi : 10.1080/00927877908822364 , ISSN 0092-7872 , MR 0524269